Аффинно-квадратичная функция

Аффи́нно-квадрати́чная фу́нкция — аналог понятия квадратичная форма для аффинных пространств.

Пусть далее ${\displaystyle S}$ — аффинное пространство, ассоциированное с векторным пространством ${\displaystyle V}$ над полем ${\displaystyle \mathbb {K} }$, характеристика которого не равна ${\displaystyle 2}$.

Функция ${\displaystyle Q:S\to \mathbb {K} }$ называется аффинно-квадратичной, если в некотором репере она задаётся при помощи квадратичного многочлена (или многочлена меньшей степени) от координат, то есть

${\displaystyle Q(P)=\sum _{1\leq i\leq j\leq n}a_{ij}x_{i}x_{j}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}x_{i}+c}$.

В отличие от классического понятия квадратичной функции коэффициентам ${\displaystyle a_{ij}}$ разрешается быть одновременно нулями. Таким образом, многочлен может быть и линейным, и постоянным.

Функция ${\displaystyle Q:S\to \mathbb {K} }$ называется аффинно-квадратичной, если для некоторой фиксированной точки ${\displaystyle O\in S}$ она задаётся соотношением

${\displaystyle Q(x+O)=q(x)+l(x)+c}$,

где ${\displaystyle x\in V}$, ${\displaystyle q}$ — квадратичная форма на ${\displaystyle V}$, ${\displaystyle l}$ — линейная форма на ${\displaystyle V}$, ${\displaystyle c}$ — фиксированная константа ${\displaystyle \mathbb {K} }$^[1].

Можно дать определение аналогичное определению квадратичной формы через билинейную форму. Функцию ${\displaystyle D:S\times S\to \mathbb {K} }$ назовём биаффинной, если при фиксированном одном из параметров, функция аффинна, то есть если ${\displaystyle \forall P\in S:D(P,\cdot ),D(\cdot ,P)}$ — аффинные функции. Тогда ${\displaystyle Q:S\to \mathbb {K} }$ называется аффинно-квадратичной, если для некоторой биаффинной функции ${\displaystyle D}$

${\displaystyle Q(P)=D(P,P)}$.^[2]

Согласно третьему определению, любая функция вида ${\displaystyle D(P,P)}$, где ${\displaystyle D}$ — биаффинная функция, является аффинно-квадратичной, и любая аффинно-квадратичная функция ${\displaystyle Q(P)}$ может быть представлена как ${\displaystyle D(P,P)}$, где ${\displaystyle D}$ — некоторая биаффинная функция. Однако для определённой аффинно-квадратичной функции биаффинная функция, определяющая её, определена неоднозначно. Однозначное соответствие можно получить, если дополнительно потребовать симметричность ${\displaystyle D}$, то есть верно следующее утверждение:

Для любой аффинно-квадратичной функции ${\displaystyle Q(P)}$ существует и единственна симметричная биаффинная функция ${\displaystyle D(P,R)}$ такая, что ${\displaystyle Q(P)=D(P,P)}$. Таким образом между афинно-квадратичными функциями и симметричными биаффинными есть взаимооднозначное соответствие.

Через заданную аффинно-квадратичную функцию ${\displaystyle Q}$ соответствующая симметричная биаффинная функция ${\displaystyle D}$ может быть выражена следующим образом:

${\displaystyle D(P,R)=2Q\left({\frac {1}{2}}P+{\frac {1}{2}}R\right)-{\frac {1}{2}}Q(P)-{\frac {1}{2}}Q(R)}$

Эта формула называется формулой поляризации (аналогично случаю квадратичных и билинейных форм). Суммы точек с коэффициентами здесь представляют собой аффинную комбинацию.

Все остальные биаффинные функции, определяющие данную аффинно-квадратичную функцию, получаются прибавлением к соответствующей симметричной произвольной антисимметричной биаффинной функции.

Согласно второму определению, для некоторой точки ${\displaystyle O\in S}$ любую аффинно-квадратичную функцию можно представить в виде ${\displaystyle Q(x+O)=q(x)+l(x)+c}$, где ${\displaystyle q}$ — квадратичная форма на ${\displaystyle V}$, ${\displaystyle l}$ — линейная форма на ${\displaystyle V}$, ${\displaystyle c}$ — фиксированная константа ${\displaystyle \mathbb {K} }$. Обратно, функция, задаваемая для определённой точки ${\displaystyle O}$ выражением ${\displaystyle Q(x+O)=q(x)+l(x)+c}$, является аффинно-квадратичной. Точку ${\displaystyle O}$ называют началом отсчёта.

На самом деле аффинно-квадратичная функция для любой точки ${\displaystyle O\in S}$ может быть задана в виде ${\displaystyle Q(x+O)=q(x)+l(x)+c}$. При этом квадратичная форма ${\displaystyle q}$ для заданной аффинно-квадратичной функции определена однозначно и не зависит даже от выбора точки ${\displaystyle O}$. Эта форма называется квадратичной частью ${\displaystyle Q}$. Матрица этой формы называется основной матрицей ${\displaystyle Q}$. Эта же матрица, по совместительству, является основной матрицей соответствующей симметричной биаффинной функции. Ранг основной матрицы называется малым рангом аффинно-квадратичной функции.^[3]

Форма ${\displaystyle l}$ и константа ${\displaystyle c}$ для заданной точки ${\displaystyle O}$ определены однозначно, однако для разных точек ${\displaystyle O}$ могут отличаться. Форма ${\displaystyle l}$ называется линейной частью ${\displaystyle Q}$ относительно точки ${\displaystyle O}$, а константа ${\displaystyle c}$ — постоянной частью относительно точки ${\displaystyle O}$.^[4]

При смене точки ${\displaystyle O}$ линейная и постоянная часть преобразуются следующим образом. Пусть ${\displaystyle O'=O+a}$ — новая точка, тогда ${\displaystyle Q(O'+x)=q(x)+l'(x)+c'}$ для некоторых ${\displaystyle l'}$ и ${\displaystyle c'}$. Эти ${\displaystyle l'}$ и ${\displaystyle c'}$ выражаются так:

${\displaystyle l'(x)=2b(a,x)+l(x)}$

${\displaystyle c'=q(a)+l(a)+c}$,

где ${\displaystyle b}$ — симметричная билинейная форма, соответствующая квадратичной форме ${\displaystyle q}$.^[5]

Согласно первому определению, любую аффинно-квадратичную функцию в некотором репере можно представить в виде квадратичного многочлена (или многочлена меньшей степени) от координат. Верно большее: для любой аффинно-квадратичной функции это можно сделать в любом репере. Обратно, если функция задаётся квадратичным многочленом от координат, то она является аффинно-квадратичной.

Формулу в координатах можно получить из формулы через квадратичную форму. Пусть ${\displaystyle (O,e)}$ — репер, ${\displaystyle A}$ — матрица квадратичной части в базисе ${\displaystyle e}$, ${\displaystyle B}$ — вектор-строка координат линейной части относительно ${\displaystyle O}$ в базисе ${\displaystyle e}$, ${\displaystyle c}$ — постоянная часть относительно ${\displaystyle O}$. Тогда:

${\displaystyle Q(P)=x^{T}Ax+Bx+c}$

С использованием понятия расширенной матрицы это выражение может быть записано ещё проще. Расширенной матрицей аффинно-квадратичной функции называется матрица

${\displaystyle A'={\begin{pmatrix}A&{\dfrac {B^{T}}{2}}\\{\dfrac {B}{2}}&c\end{pmatrix}}}$

Тогда

${\displaystyle Q(P)={\begin{pmatrix}x^{T}&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A&{\dfrac {B^{T}}{2}}\\{\dfrac {B}{2}}&c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\1\end{pmatrix}}=x'^{T}A'x'}$

Правило преобразования коэффициентов при переходе к другому реперу также довольно просто записывается через расширенные матрицы. Пусть ${\displaystyle T}$ — матрица перехода от старого базиса к новому, ${\displaystyle t}$ — вектор-столбец координат нового начала отсчёта в старом репере. Тогда

${\displaystyle A'_{2}={\begin{pmatrix}A_{2}&{\dfrac {B'^{T}}{2}}\\{\dfrac {B'}{2}}&c'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}T^{T}&0\\t^{T}&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A_{1}&{\dfrac {B^{T}}{2}}\\{\dfrac {B}{2}}&c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}T&t\\0&1\end{pmatrix}}=T'^{T}A'_{1}T'}$

Ранг расширенной матрицы называется большим рангом аффинно-квадратичной функции.

• Аффинная квадрика — множество ${\displaystyle X(Q)=\{P\in S:Q(P)=0\}}$.
• Аффинно-квадратичные функции ${\displaystyle Q_{1}}$ и ${\displaystyle Q_{2}}$ называются аффинно эквивалентными, если существует такое аффинное преобразование ${\displaystyle F}$, что ${\displaystyle Q_{1}(F(P))\equiv Q_{2}(P)}$.
• Аффинно-квадратичные функции ${\displaystyle Q_{1}}$ и ${\displaystyle Q_{2}}$ на метрическом аффинном пространстве называются метрически эквивалентными, если существует такое движение ${\displaystyle F}$, что ${\displaystyle Q_{1}(F(P))\equiv Q_{2}(P)}$.

Центральной точкой аффинно-квадратичной функции ${\displaystyle Q}$ называется такая точка ${\displaystyle O}$ из ${\displaystyle S}$, что для любого ${\displaystyle x}$ из ${\displaystyle V}$ выполняется ${\displaystyle Q(O+x)=Q(O-x)}$. Множество всех центральных точек называется центром аффинно-квадратичной функции^[6] (некоторые авторы придерживаются иной терминологии: центрами они называют сами точки, а не их множество.^[7] Далее данная статья будет придерживаться первой терминологии).

Если центр ${\displaystyle Q}$ непуст, то такая аффинно-квадратичная функция называется центральной, а в противном случае нецентральной.

Точка ${\displaystyle O}$ является центром аффинно-квадратичной функции тогда и только тогда когда линейная часть относительно этой точки тождественно равна ${\displaystyle 0}$^[8].

Множество центров аффинно-квадратичной функции в координатах есть решение СЛАУ ${\displaystyle Ax=-{\frac {B^{T}}{2}}}$

Квадратичная часть нецентральной аффинно-квадратичной функции вырождена (следует из предыдущего свойства и теоремы Кронекера — Капелли). Множество центров центральной аффинно-квадратичной функции является аффинным подпространством пространства ${\displaystyle S}$ размерности ${\displaystyle \operatorname {dim} {S}-\operatorname {rk} {q}}$, а его направляющее подпространство есть ${\displaystyle \operatorname {ker} {q}}$. Если квадратичная часть невырождена, то множество центров состоит из одной точки.^[6]

Нецентральная аффинно-квадратичная функция имеет хотя бы один нуль (следует из её канонического вида, который будет выведен далее).

Канонический вид для центральной и нецентральной аффинно-квадратичной функции существенно отличаются друг от друга.

Для приведения центральной аффинно-квадратичной функции к каноническому виду достаточно взять в качестве начала отсчёта любой из её центров, а в качестве базиса канонический базис для её квадратичной части. Тогда линейная часть обнулится, квадратичная примет канонический вид и аффинно-квадратичная функция примет вид:

${\displaystyle Q(P)=\lambda _{1}x_{1}^{2}+...+\lambda _{k}x_{k}^{2}+c_{0}}$, где ${\displaystyle 1\leq k\leq n}$, все ${\displaystyle \lambda _{i}\neq 0}$.

Значение ${\displaystyle c_{0}}$ от выбора конкретного центра не зависит.

Выберем базис, в котором квадратичная часть имеет канонический вид. Это приведёт аффинно-квадратичную функцию к виду ${\displaystyle Q(P)=\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}y_{i}^{2}+\sum _{i=1}^{n}\mu _{i}y_{i}+c_{0}=\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}(y_{i}+{\frac {\mu _{i}}{2\lambda _{i}}})^{2}+\sum _{i=k+1}^{n}\mu _{i}y_{i}+c'_{0}}$, где ${\displaystyle k<n}$, так как квадратичная часть нецентральной аффинно-квадратичной функции вырождена. Если бы ${\displaystyle \mu _{k+1},...,\mu _{n}=0}$, то замена ${\displaystyle z_{i}=y_{i}+{\frac {\mu _{i}}{2\lambda _{i}}}}$ при ${\displaystyle i=1,...,k}$, ${\displaystyle z_{i}=y_{i}}$ при ${\displaystyle i=k+1,...,n}$ приведёт ${\displaystyle Q}$ к виду ${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}z_{i}^{2}+c'_{0}}$, где линейная часть тождественно равна нулю, а значит, начало отсчёта является центром. Получается хотя бы один из коэффициентов ${\displaystyle \mu _{k+1},...,\mu _{n}}$ не равен нулю и можно сделать замену ${\displaystyle x_{i}=y_{i}+{\frac {\mu _{i}}{2\lambda _{i}}}}$ при ${\displaystyle i=1,...,k}$, ${\displaystyle x_{k+1}=\mu _{k+1}y_{k+1}+...+\mu _{n}y_{n}+c'_{0}}$, ${\displaystyle x_{i}=y_{i}}$ при ${\displaystyle i=k+2,...,n}$, которая приведёт аффинно-квадратичную функцию к каноническому виду:

${\displaystyle Q(P)=\lambda _{1}x_{1}^{2}+...+\lambda _{k}x_{k}^{2}+x_{k+1}}$, где ${\displaystyle 1\leq k<n}$, все ${\displaystyle \lambda _{i}\neq 0}$.

Вопрос о единственности канонического вида аффинно-квадратичной функции сводится к вопросу о единственности канонического вида её квадратичной части. Если две аффинно-квадратичные функции имеют одинаковый канонический вид, то они аффинно эквивалентны.^[9]

Нормальный вид аффинно-квадратичной функции отличается от канонического тем, что квадратичная часть в нём имеет нормальный вид. Пусть ${\displaystyle q(x)=\lambda _{1}x_{1}^{2}+...+\lambda _{k}x_{k}^{2}}$, где все ${\displaystyle \lambda _{i}\neq 0}$ — нормальный вид ${\displaystyle q}$. Тогда нормальный вид ${\displaystyle Q}$:

${\displaystyle Q(P)=\lambda _{1}x_{1}^{2}+...+\lambda _{k}x_{k}^{2}+c_{0}}$, где ${\displaystyle 1\leq k\leq n}$ в центральном случае,

${\displaystyle Q(P)=\lambda _{1}x_{1}^{2}+...+\lambda _{k}x_{k}^{2}+x_{k+1}}$, где ${\displaystyle 1\leq k<n}$ в нецентральном случае

Конкретный произвол в выборе коэффициентов ${\displaystyle \lambda _{i}}$ зависит от поля ${\displaystyle \mathbb {K} }$ и должен быть рассмотрен в каждом отдельном случае.

${\displaystyle Q(P)=x_{1}^{2}+...+x_{k}^{2}+c_{0}}$ в центральном случае

${\displaystyle Q(P)=x_{1}^{2}+...+x_{k}^{2}+x_{k+1}}$ в нецентральном случае

${\displaystyle Q(P)=x_{1}^{2}+...+x_{m}^{2}-x_{m+1}^{2}-...-x_{k}^{2}+c_{0}}$, где ${\displaystyle 0\leq m\leq k}$ в центральном случае

${\displaystyle Q(P)=x_{1}^{2}+...+x_{m}^{2}-x_{m+1}^{2}-...-x_{k}^{2}+x_{k+1}}$, где ${\displaystyle 0\leq m\leq k}$ в нецентральном случае

Нормальный вид аффинно-квадратичной функции единственен. Две аффинно-квадратичные функции имеют одинаковый нормальный вид тогда и только тогда когда они аффинно эквивалентны.^[10]

В евклидовом, унитарном и иных аффинных пространствах, ассоциированных с векторным пространством со скалярным произведением может быть поставлена задача нахождения прямоугольной системы координат, в которой аффинно-квадратичная форма имеет наиболее простой вид. Здесь будет рассмотрена таковая для евклидова пространства.

В качестве начала отсчёта нужно взять любой центр, а в качестве базиса ортонормированный базис, в котором квадратичная форма имеет канонический вид. Тогда аффинно-квадратичная функция будет приведена к виду:

${\displaystyle Q(P)=\lambda _{1}x_{1}^{2}+...+\lambda _{k}x_{k}^{2}+c_{0}}$, где ${\displaystyle 1\leq k\leq n}$, все ${\displaystyle \lambda _{i}\neq 0}$

причём коэффициенты определены однозначно с точностью до перестановки (это следует из единственности вида квадратичной формы в главных осях).

В нецентральном случае такая прямоугольная система координат, в которой аффинно-квадратичная функция имеет канонический вид, существует не всегда, однако если немного изменить его, то можно получить вид, который существует и единственен для любой функции.
Для приведения к такому виду нужно сначала привести квадратичную часть к главным осям. Получим: ${\displaystyle Q(P)=\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}y_{i}^{2}+\sum _{i=1}^{n}\mu _{i}y_{i}+c_{0}=\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}(y_{i}+{\frac {\mu _{i}}{2\lambda _{i}}})^{2}+\sum _{i=k+1}^{n}\mu _{i}y_{i}+c'_{0}}$.
Затем сделать следующую замену: ${\displaystyle x_{i}=y_{i}+{\frac {\mu _{i}}{2\lambda _{i}}}}$ при ${\displaystyle i=1,...,k}$, ${\displaystyle x_{k+1}={\frac {\mu _{k+1}y_{k+1}+...+\mu _{n}y_{n}+c'_{0}}{\sqrt {\mu _{k+1}^{2}+...+\mu _{n}^{2}}}}}$, оставшиеся переменные взять так, чтобы замена была ортогональной (матрицу замены нужно достроить так, чтобы она была ортогональной. Это возможно сделать, так как первые ${\displaystyle k}$ строк уже образуют ортонормированную систему и достаточно просто её достроить до ортонормированного базиса). Окончательный вид получается:

${\displaystyle Q(P)=\lambda _{1}x_{1}^{2}+...+\lambda _{k}x_{k}^{2}+px_{k+1}}$, где ${\displaystyle 1\leq k<n}$, все ${\displaystyle \lambda _{i}\neq 0}$, ${\displaystyle p>0}$.

Такой вид также является единственным с точностью до перестановки коэффициентов ${\displaystyle \lambda _{i}}$.

Две аффинно-квадратичных функции метрически эквивалентны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый вид в главных осях.^[11]

Аффинно-квадратичные функции используются для классификации квадрик. К примеру: с помощью них можно получить стандартную аффинную или метрическую классификацию кривых и поверхностей второго порядка в евклидовом пространстве^[12].

• Аффинно-линейная функция

• Винберг Э. Б.  Курс алгебры. — М.: Факториал Пресс, 2001. — 544 с.
• Кострикин А. И., Манин Ю. И.  Линейная алгебра и геометрия. — СПб.: Лань, 1980. — 303 с.
• Кострикин А. И.  Введение в алгебру. Часть 2. Линейная алгебра. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2000. — 368 с.