Билинейное отображение

Билинейное отображение — бинарное отображение векторных пространств, линейное по каждому из двух аргументов.

Понятие обобщается до модулей над кольцом: если ${\displaystyle V\displaystyle }$ — левый унитарный ${\displaystyle A}$-модуль, ${\displaystyle W\displaystyle }$ — правый унитарный ${\displaystyle B}$-модуль, ${\displaystyle X\displaystyle }$ — ${\displaystyle (A,B)}$-бимодуль, то ${\displaystyle f\colon V\times W\to X}$ билинейно, если оно линейно по каждому из двух аргументов (${\displaystyle v,v'\in V;\,w,w'\in W;\,a\in A;\,b\in B}$):

${\displaystyle f(v+v',w)=f(v,w)+f(v',w)}$,

${\displaystyle f(av,w)=af(v,w)}$,

${\displaystyle f(v,w+w')=f(v,w)+f(v,w')}$,

${\displaystyle f(v,wb)=f(v,w)b}$.

Эквивалентная формулировка: ${\displaystyle f\colon V\times W\to X}$ билинейно, если определено линейное отображение ${\displaystyle f_{1}:V\to {\text{Hom}}(W,X)}$ (или, что то же самое, определено линейное отображение ${\displaystyle f_{2}:W\to {\text{Hom}}(V,X)}$).

Билинейная форма в наиболее общем случае — билинейное отображение ${\displaystyle V\times W\to A}$, где ${\displaystyle V}$ — левый унитарный ${\displaystyle A}$-модуль, ${\displaystyle W}$ — правый унитарный ${\displaystyle A}$-модуль, а ${\displaystyle A}$ — рассматриваемое как ${\displaystyle (A,A)}$-бимодуль кольцо с единицей. Билинейная операция — линейное по обоим аргументам отображение ${\displaystyle f\colon X\times X\rightarrow X}$, таковыми являются умножения в алгебрах над кольцами, а также различные разновидности умножения матриц.

• Серж Ленг. Алгебра. — М.: Мир, 1968. — С. 110.
• Билинейное отображение — статья из Математической энциклопедии. В. Л. Попов

У этой статьи по математике есть несколько проблем, помогите их исправить: Эта статья слишком короткая. Пожалуйста, дополните её ещё хотя бы несколькими предложениями и уберите это сообщение. Если статья останется недописанной, она может быть выставлена к удалению. Для указания на продолжающуюся работу над статьёй используйте шаблон {{subst:Редактирую}}. Администраторам и подводящим итоги: эта пометка оставлена 2008-11-13. Просьба очень короткие заготовки статей ранее чем через два дня после создания не удалять. (13 ноября 2008) Пожалуйста, после исправления проблемы исключите её из списка параметров. После устранения всех недостатков этот шаблон может быть удалён любым участником.