Бисимметричная матрица

Бисимметричная матрица — квадратная матрица, симметричная относительно обеих диагоналей — главной и побочной, то есть одновременно являющаяся центросимметричной и персимметричной.

Может быть определена как матрица, для которой выполнено два утверждения:

• ${\displaystyle A=A^{\intercal }}$,
• ${\displaystyle AJ=JA}$,

где ${\displaystyle J}$ — перъединичная матрица того же размера, что и ${\displaystyle A}$. Условия на элементы могут быть выражены следующим образом:

• ${\displaystyle a_{i,j}=a_{j,i}=a_{n+1-j,n+1-i}}$,

где ${\displaystyle n\times n}$ — размерность матрицы.

Пример:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b&c&d&e\\b&f&g&h&d\\c&g&i&g&c\\d&h&g&f&b\\e&d&c&b&a\end{bmatrix}}}$.

Пример бисимметричной матрицы, используемой в приложениях — транспозиционная матрица.

Вещественные бисимметричные матрицы — это те и только те матрицы, чьи собственные вектора не меняются с точностью до знака при умножении на перъединичную матрицу^[1].

Произведение двух бисимметричных матриц является центросимметричной матрицей.

Количество различных элементов биссиметричной ${\displaystyle (n\times n)}$-матрицы равно:

${\displaystyle \left\lfloor \left({\frac {n+1}{2}}\right)^{2}\right\rfloor }$,

где через ${\displaystyle \lfloor \cdot \rfloor }$ — операция взятия целой части.