Восьмиугольное число

Восьмиугольное число — разновидность многоугольных фигурных чисел, которая может быть представлена восьмиугольником. Общая формула n-го по порядку восьмиугольного числа: 3n² — 2n, где ${\displaystyle n=1,2,3,\dots }$.

Первые восьмиугольные числа:

1, 8, 21, 40, 65, 96, 133, 176, 225, 280, 341, 408, 481, 560, 645, 736, 833, 936… последовательность A000567 в OEIS

Восьмиугольные числа могут быть созданы расположением треугольных чисел на четырёх сторонах квадрата. Алгебраически, n-е восьмиугольное число это

${\displaystyle x_{n}=n^{2}+4\sum _{k=1}^{n-1}k=3n^{2}-2n.}$

n-е восьмиугольное число можно также вычислить, сложив квадрат n с удвоенным (n — 1)-м прямоугольным числом.

Восьмиугольные числа последовательно чередуют чётность.

Восьмиугольные числа иногда упоминаются как звёздные числа^[англ.], хотя этот термин чаще используется для обозначения центрированных двенадцатиугольных чисел.^[1]

Для восьмиугольного числа ${\displaystyle x_{n}}$ верно, что

${\displaystyle n={\frac {{\sqrt {3x_{n}+1}}+1}{3}}.}$

Произвольное число x можно проверить на восьмиугольность, поместив его в это уравнение. Если n — целое число, то x является n-м восьмиугольным числом. Если n не является целым числом, то x не является восьмиугольным.

• Центрированное восьмиугольное число

• Виленкин Н. Я., Шибасов Л. П. Шибасова 3. Ф. За страницами учебника математики: Арифметика. Алгебра. Геометрия. — М.: Просвещение, 1996. — С. 30. — 320 с. — ISBN 5-09-006575-6.
• Глейзер Г. И. История математики в школе. — М.: Просвещение, 1964. — 376 с.
• Деза Е., Деза М. Фигурные числа. — М.: МЦНМО, 2016. — 349 с. — ISBN 978-5-4439-2400-7.

• Фигурные числа Архивная копия от 23 ноября 2018 на Wayback Machine
• Weisstein, Eric W. Tetrahedral Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Geometric Proof of the Tetrahedral Number Formula Архивная копия от 28 июля 2009 на Wayback Machine by Jim Delany, The Wolfram Demonstrations Project.
• On the relation between double summations and tetrahedral numbers Архивная копия от 6 марта 2016 на Wayback Machine by Marco Ripà