Треугольник (чёрный) с вписанной окружностью (синей), инцентр (I), вневписанными окружностями (оранжевые), эксцентры (JA,JB,JC), внутренние биссектрисы (красные) и внешние биссектрисы (зелёные)
Вписанная в треугольник окружность — окружность внутри треугольника, касающаяся всех его сторон; наибольшая окружность, которая может находиться внутри треугольника. Центр этой окружности является точкой пересечения биссектрис треугольника и называется инцентром треугольника.
Вневписанная окружность треугольника — окружность, лежащая вне треугольника и касающаяся одной стороны треугольника и продолжения двух других сторон[англ.]. Любой треугольник имеет три различные вневписанные окружности, каждая из которых касается своей стороны треугольника.
Центром вневписанной окружности является пересечение биссектрисы одного внутреннего угла[англ.] и биссектрис двух других внешних углов[англ.]. Поскольку биссектриса внутреннего угла перпендикулярна биссектрисе смежного внешнего угла, центр вписанной окружности вместе с тремя центрами вневписанных окружностей образуют ортоцентричную систему[англ.][1].
Не все многоугольники с числом сторон более трёх имеют вписанную окружность. Те, которые имеют, называются описанными.
Чтобы получить альтернативную формулу, рассмотрим . Это прямоугольный треугольник, у которого один из катетов равен а другой равен .
То же самое верно для . Весь треугольник состоит из 6 таких треугольников, и общая площадь составляет:
Вневписанные окружности
Пусть вневписанная окружность, касающаяся стороны AB, касается продолжения стороны AC в точке G, и пусть радиус этой окружности равен , а её центр — . Тогда является высотой треугольника ,
так что имеет площадь . По тем же причинам
имеет площадь
,
а
имеет площадь
.
Тогда
и это формула Герона вычисления площади треугольника по его сторонам.
Комбинируя формулу Герона с , получим
.
Аналогично, даёт
.
Из этих формул видно, что вневписанные окружности всегда больше вписанной и наибольшая окружность соответствует самой длинной стороне, а самая наименьшая из вневписанных окружностей соответствует самой маленькой стороне. Дальнейшее комбинирование формул приводит к:[3]
Отношение площади вписанной окружности к площади треугольника меньше или равно , и равенство достигается только на правильных треугольниках[4].
Треугольник ΔABC с вписанной окружностью (синяя), и её центр (синий, I), треугольник точек касания (красный, ΔTaTbTc) и точка Жергонна (зелёная, Ge)
Треугольник Жергонна (для треугольника ABC) определяется тремя точками касания вписанной окружности на трёх сторонах.
Эти вершины обозначим TA, и т. д..
Точка TA лежит напротив вершины A.
Этот треугольник Жергонна TATBTC известен также как треугольник касаний треугольника ABC.
Интересно, что точка Жергонна треугольника является точкой пересечения симедиан треугольника Жергонна. Полный набор свойств точки Жергонна можно найти в статье Декова[7].
Треугольник Нагеля (см. рис. выше) для треугольника ABC определяется вершинами TA, TB и TC, которые являются точками касания вневписанных окружностей треугольника ABC и точка XA противоположна стороне A, и т. д. Описанная вокруг треугольника TATBTC окружность называется окружностью Мандарта (частный случай эллипса Мандарта). Три прямые ATA, BTB и CTC делят периметр пополам и пересекаются в одной точке НагеляNa — X(8).
Пусть x : y : z — координаты точки в трилинейных координатах, и пусть u = cos2(A/2), v = cos2(B/2), w = cos2(C/2). Четыре окружности, описанные выше, можно задать любым из двух указанных способов[8]:
Радиус вписанной окружности не больше одной девятой суммы высот треугольника[9].
Неравенство Эйлера: радиус вписанной окружности не превосходит половины радиуса описанной окружности и равенство имеет место лишь для равностороннего треугольника[10].
Предположим, что точки касания вписанной окружности делят стороны на отрезки длиной x и y, y и z, z и x. Тогда вписанная окружность имеет радиус[11]
и площадь треугольника равна
Если высоты, опущенные на стороны a, b и c есть ha, hb и hc, то радиус вписанной окружности r равен одной трети гармонического среднего этих высот, то есть
Произведение радиуса вписанной окружности r и радиуса описанной окружности R треугольника со сторонами a, b и c равно[1]
Некоторые связи сторон, радиусов вписанной окружности и описанной окружностей[12]:
Любая прямая, проходящая через треугольник и делящая площадь треугольника и периметр пополам, проходит через центр вписанной окружности. Таких прямых может существовать три, две или одна[13].
Перпендикуляры, восставленные к сторонам треугольника в точках касания вневписанных окружностей, пересекаются в одной точке. Эта точка симметрична центру вписанной окружности относительно центра описанной окружности[14].
Формулы для расстояний до центра вписанной или вневписанной окружностей
Расстояние от вершины до точек касания вписанной окружности на прилегающих сторонах равно полусумме длин прилегающих сторон минус половина противолежащей стороны[19]. Так, для вершины B и прилежащих точек касания TA и TC,
Если обозначить центр вписанной окружности треугольника ABC буквой I, мы получим[20]
Если обозначить за I центр вписанной окружности треугольника ABC, AD — биссектриса угла A, то
Центр вписанной окружности лежит в треугольнике, вершины которого являются серединами сторон треугольника[18].
Теорема о трезубце или теорема трилистника, или теорема Клайнэра: Если D — точка пересечения биссектрисы угла A с описанной окружностью треугольника ABC, I и J — соответственно центры вписанной и вневписанной окружности, касающейся стороны BC, тогда .
Теорема Мансиона (составная часть Теоремы о трезубце). Середины трёх отрезков, соединяющих центр вписанной окружности с центрами вневписанных окружностей лежат на описанной окружности[10].
Теорема Харкорта
Теорема Харкорта. Пусть треугольник задан своими вершинами A, B и C, противоположные вершинам стороны имеют длины a, b и c, площадь равна K и прямая касается вписанной в треугольник окружности в произвольной точке. Обозначим расстояния от вершин треугольника до прямой через a ', b ' и c ', при этом, если вершина и центр окружности лежат по разные стороны от прямой, расстояние считается отрицательным. Тогда
.
Другие свойства вневписанных окружностей
Следующее отношение выполняется для радиуса r вписанной окружности, радиуса R описанной окружности, полупериметра s и радиусов вневписанных окружностей ra, rb, rc[12]:
Окружность, проходящая через центры вневписанных окружностей, имеет радиус 2R[12].
Вершины A, B и C треугольника ABC являются основаниями высот треугольника JAJB,JC,
где JAJB,JC — центры вневписанных окружностей[10].
Перпендикуляры, восставленные к сторонам треугольника в точках касания вневписанных окружностей, пересекаются в одной точке. Эта точка симметрична центру вписанной окружности относительно центра описанной окружности[14].
Центр Шпикератреугольника является радикальным центром его вневписанных окружностей[22]. Если из центра Шпикера треугольника провести 6 касательных к 3 вневписанным окружностям треугольника, то все их длины будут равны между собой.
Окружность Аполлония
Определение окружности Аполлония
Точка Аполлония и окружность Аполлония
Пусть дан треугольник ABC. Пусть вневписанные окружности треугольника ABC, противоположные вершинам A, B и C, есть соответственно EA, EB, EC (см. рисунок). Тогда окружность АполлонияE (на рис. справа показана зеленым цветом) касается внутренним образом сразу трех вневписанных окружностей треугольника ABC в точках соответственно EA, EB и EC (см. рисунок)[23].
Радиус окружности Аполлония
Радиус окружности Аполлония равен, где r — радиус вписанной окружности и s — полупериметр треугольника[24].
Точка АполлонияAp или X(181) определяется следующим образом:
Пусть A' , B' и C' есть точки касания окружности АполлонияE с соответствтвующими вневписанными окружностями. Тогда прямые AA' , BB' и CC' пересекаются в одной точке Ap, которую называют точкой Аполлония треугольника ABC.
Некоторые (но не все) четырёхугольники имеют вписанную окружность. Они называются описанными четырёхугольниками. Среди свойств этих четырёхугольников наиболее важным является то, что суммы противоположных сторон равны. Это утверждение называется теоремой Пито.
↑Marcus Baker. A collection of formulae for the area of a plane triangle. — January 1885. — Т. part 1, vol. 1(6). — С. 134-138.. См. также часть 2 в томе. 2(1), Сентябрь 1885, 11-18.)
↑D. Minda, S. Phelps. Triangles, ellipses, and cubic polynomials // American Mathematical Monthly. — October 2008. — Вып. 115. — С. 679-689: Theorem 4.1..
↑С. И. Зетель. Новая геометрия треугольника. — Москва: УЧПЕДГИЗ, 1962. — С. 52-53 Глава III.
↑Christopher J. Bradley, Geoff C. Smith. The locations of triangle centers // Forum Geometricorum. — 2006. — Вып. 6. — С. 57-70..
↑Deko Dekov. Computer-generated Mathematics : The Gergonne Point // Journal of Computer-generated Euclidean Geometry. — 2009. — Т. 1. — С. 1–14.. Архивировано 5 ноября 2010 года.
↑William Allen Whitworth. Trilinear Coordinates and Other Methods of Modern Analytical Geometry of Two Dimensions. — 2012. — С. 210-215. — (Forgotten Books). Архивировано 24 марта 2016 года.
↑Alfred S. Posamentier, Ingmar Lehmann.The Secrets of Triangles. — Prometheus Books, 2012. — С. 289.
↑ 1234А. Д. Куланин, С. Н. Федин. Геометрия треугольника в задачах. — М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. — ISBN 978-5-397-00786-3.
↑Thomas Chu. The Pentagon. — Spring, 2005. — С. 45, задача 584..
↑ 1234Amy Bell. Hansen’s right triangle theorem, its converse and a generalization // Forum Geometricorum. — 2006. — Вып. 6. — С. 335–342.
Пожалуйста, после исправления проблемы исключите её из списка параметров. После устранения всех недостатков этот шаблон может быть удалён любым участником.