Вписанные и вневписанные в треугольник окружности

Вписанная в треугольник окружность — окружность внутри треугольника, касающаяся всех его сторон; наибольшая окружность, которая может находиться внутри треугольника. Центр этой окружности является точкой пересечения биссектрис треугольника и называется инцентром треугольника.

Вневписанная окружность треугольника — окружность, лежащая вне треугольника и касающаяся одной стороны треугольника и продолжения двух других сторон^[англ.]. Любой треугольник имеет три различные вневписанные окружности, каждая из которых касается своей стороны треугольника. Центром вневписанной окружности является пересечение биссектрисы одного внутреннего угла^[англ.] и биссектрис двух других внешних углов^[англ.]. Поскольку биссектриса внутреннего угла перпендикулярна биссектрисе смежного внешнего угла, центр вписанной окружности вместе с тремя центрами вневписанных окружностей образуют ортоцентричную систему^{[англ.][1]}.

Не все многоугольники с числом сторон более трёх имеют вписанную окружность. Те, которые имеют, называются описанными.

Радиусы вписанных и вневписанных окружностей имеют тесную связь с площадью треугольника^[2].

Пусть ${\displaystyle \triangle ABC}$ имеет вписанную окружность радиуса ${\displaystyle r}$ с центром ${\displaystyle I.}$ Пусть ${\displaystyle a}$ — длина ${\displaystyle BC,}$ ${\displaystyle b}$ — длина ${\displaystyle AC,}$ а ${\displaystyle c}$ — длина ${\displaystyle AB.}$

Пусть вписанная окружность касается ${\displaystyle AB}$ в некоторой точке ${\displaystyle C',}$ тогда ${\displaystyle \angle AC'I}$ является прямым и радиус ${\displaystyle C'I}$ будет высотой треугольника ${\displaystyle \triangle IAB}$.

Таким образом, ${\displaystyle \triangle IAB}$ имеет основание длины ${\displaystyle c}$ и высоту ${\displaystyle r,}$ а следовательно, его площадь равна ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}cr}$.

Подобным же образом ${\displaystyle \triangle IAC}$ имеет площадь ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}br}$ и ${\displaystyle \triangle IBC}$ имеет площадь ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ar}$.

Поскольку эти три треугольника составляют ${\displaystyle \triangle ABC}$, получаем, что:

${\displaystyle \Delta ={\frac {1}{2}}(a+b+c)r=pr,}$

где ${\displaystyle \Delta }$ — площадь ${\displaystyle \triangle ABC}$,

${\displaystyle p={\frac {1}{2}}(a+b+c)}$ — его полупериметр.

Чтобы получить альтернативную формулу, рассмотрим ${\displaystyle \triangle IC'A}$. Это прямоугольный треугольник, у которого один из катетов равен ${\displaystyle r,}$ а другой равен ${\displaystyle r\cdot \mathrm {ctg} {\frac {\angle A}{2}}.}$.

То же самое верно для ${\displaystyle \triangle IB'A}$. Весь треугольник состоит из 6 таких треугольников, и общая площадь составляет:

${\displaystyle \Delta =r^{2}\cdot (\mathrm {ctg} {\frac {\angle A}{2}}+\mathrm {ctg} {\frac {\angle B}{2}}+\mathrm {ctg} {\frac {\angle C}{2}}).}$

Пусть вневписанная окружность, касающаяся стороны AB, касается продолжения стороны AC в точке G, и пусть радиус этой окружности равен ${\displaystyle r_{c}}$, а её центр — ${\displaystyle I_{c}}$. Тогда ${\displaystyle I_{c}G}$ является высотой треугольника ${\displaystyle \triangle ACI_{c}}$, так что ${\displaystyle \triangle ACI_{c}}$ имеет площадь ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}br_{c}}$. По тем же причинам ${\displaystyle \triangle BCI_{c}}$ имеет площадь ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ar_{c}}$, а ${\displaystyle \triangle ABI_{c}}$ имеет площадь ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}cr_{c}}$. Тогда

${\displaystyle \Delta ={\frac {1}{2}}(a+b-c)r_{c}=(p-c)r_{c}}$.

Таким образом, ввиду симметрии,

${\displaystyle \Delta =pr=(p-a)r_{a}=(p-b)r_{b}=(p-c)r_{c}}$.

По теореме косинусов получаем

${\displaystyle \cos A={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}}$

Комбинируя это с тождеством ${\displaystyle \sin ^{2}A+\cos ^{2}A=1}$, получим

${\displaystyle \sin A={\frac {\sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2a^{2}c^{2}}}{2bc}}}$

Но ${\displaystyle \Delta ={\tfrac {1}{2}}bc\sin A}$, так что

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta &={\frac {1}{4}}{\sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2a^{2}c^{2}}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}\\&={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}},\end{aligned}}}$

и это формула Герона вычисления площади треугольника по его сторонам.

Комбинируя формулу Герона с ${\displaystyle pr=\Delta }$, получим

${\displaystyle r^{2}={\frac {\Delta ^{2}}{p^{2}}}={\frac {(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}}$.

Аналогично, ${\displaystyle (p-a)r_{a}=\Delta }$ даёт

${\displaystyle r_{a}^{2}={\frac {p(p-b)(p-c)}{p-a}}}$.

Из этих формул видно, что вневписанные окружности всегда больше вписанной и наибольшая окружность соответствует самой длинной стороне, а самая наименьшая из вневписанных окружностей соответствует самой маленькой стороне. Дальнейшее комбинирование формул приводит к:^[3]

${\displaystyle \Delta ={\sqrt {rr_{a}r_{b}r_{c}}}.}$

Отношение площади вписанной окружности к площади треугольника меньше или равно ${\displaystyle {\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}}$, и равенство достигается только на правильных треугольниках^[4].

• Теорема Эйлера об окружности Эйлера. Середины отрезков высот от ортоцентра до вершин треугольника называются точками Эйлера. Основания медиан, основания высот и точки Эйлера лежат на одной окружности, называемой окружностью девяти точек^[5].

• Теорема Фейербаха. Окружность девяти точек касается всех трёх вневписанных окружностей, а также вписанной окружности в четырёх разных точках. Одна из них - точка касания окружности Эйлера и вписанной окружности известна как точка Фейербаха.

Треугольник Жергонна (для треугольника ABC) определяется тремя точками касания вписанной окружности на трёх сторонах. Эти вершины обозначим T_A, и т. д.. Точка T_A лежит напротив вершины A.

Этот треугольник Жергонна T_AT_BT_C известен также как треугольник касаний треугольника ABC.

Три прямые AT_A, BT_B и CT_C пересекаются в одной точке — точке Жергонна и обозначается Ge — X(7). Точка Жергонна лежит внутри открытого ортоцентроидного круга^[англ.] с выколотым центром^[6].

Интересно, что точка Жергонна треугольника является точкой пересечения симедиан треугольника Жергонна. Полный набор свойств точки Жергонна можно найти в статье Декова^[7].

Трилинейные координаты вершин треугольника касаний задаются формулами

• вершина ${\displaystyle A=0:\sec ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):\sec ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)}$
• вершина ${\displaystyle B=\sec ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):0:\sec ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)}$
• вершина ${\displaystyle C=\sec ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):\sec ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):0}$

Трилинейные координаты точки Жергонна

${\displaystyle \sec ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):\sec ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):\sec ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)}$,

или, эквивалентно, по теореме синусов,

${\displaystyle {\frac {bc}{b+c-a}}:{\frac {ca}{c+a-b}}:{\frac {ab}{a+b-c}}}$.

Точка Жергонна является изотомическим сопряжением точки Нагеля.

Треугольник Нагеля (см. рис. выше) для треугольника ABC определяется вершинами T_A, T_B и T_C, которые являются точками касания вневписанных окружностей треугольника ABC и точка X_A противоположна стороне A, и т. д. Описанная вокруг треугольника T_AT_BT_C окружность называется окружностью Мандарта (частный случай эллипса Мандарта). Три прямые AT_A, BT_B и CT_C делят периметр пополам и пересекаются в одной точке Нагеля Na — X(8).

Трилинейные координаты точек касания треугольника вневписанными окружностями задаются формулами

• вершина ${\displaystyle A=0:\csc ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):\csc ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)}$
• вершина ${\displaystyle B=\csc ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):0:\csc ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)}$
• вершина ${\displaystyle C=\csc ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):\csc ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):0}$

Трилинейные координаты точки Нагеля задаются формулами

${\displaystyle \csc ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):\csc ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):\csc ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)}$,

или, эквивалентно, по теореме синусов,

${\displaystyle {\frac {b+c-a}{a}}:{\frac {c+a-b}{b}}:{\frac {a+b-c}{c}}}$.

Точка Нагеля является изотомическим сопряжением точки Жергонна.

Трилинейные координаты вершин треугольника, образованного основаниями биссектрис, задаются формулами

• вершина ${\displaystyle A=0:1:1}$
• вершина ${\displaystyle B=1:0:1}$
• вершина ${\displaystyle C=1:1:0}$

Трилинейные координаты треугольника, образованного точками касания сторон внеописанными окружностями, задаются формулами

• вершина ${\displaystyle A=-1:1:1}$
• вершина ${\displaystyle B=1:-1:1}$
• вершина ${\displaystyle C=1:-1:-1}$

Пусть x : y : z — координаты точки в трилинейных координатах, и пусть u = cos²(A/2), v = cos²(B/2), w = cos²(C/2). Четыре окружности, описанные выше, можно задать любым из двух указанных способов^[8]:

• Вписанная окружность:

${\displaystyle \ u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}-2vwyz-2wuzx-2uvxy=0}$

${\displaystyle \pm {\sqrt {x}}\cos {\frac {A}{2}}\pm {\sqrt {y}}\cos {\frac {B}{2}}\pm {\sqrt {z}}\cos {\frac {C}{2}}=0}$

• A-внешневписанная:

${\displaystyle \ u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}-2vwyz+2wuzx+2uvxy=0}$

${\displaystyle \pm {\sqrt {-x}}\cos {\frac {A}{2}}\pm {\sqrt {y}}\cos {\frac {B}{2}}\pm {\sqrt {z}}\cos {\frac {C}{2}}=0}$

• B-внешневписанная:

${\displaystyle \ u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}+2vwyz-2wuzx+2uvxy=0}$

${\displaystyle \pm {\sqrt {x}}\cos {\frac {A}{2}}\pm {\sqrt {-y}}\cos {\frac {B}{2}}\pm {\sqrt {z}}\cos {\frac {C}{2}}=0}$

• C-внешневписанная:

${\displaystyle \ u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}+2vwyz+2wuzx-2uvxy=0}$

${\displaystyle \pm {\sqrt {x}}\cos {\frac {A}{2}}\pm {\sqrt {y}}\cos {\frac {B}{2}}\pm {\sqrt {-z}}\cos {\frac {C}{2}}=0}$

• ${\displaystyle r={\frac {p-a}{\operatorname {ctg} (\alpha /2)}}={\frac {p-b}{\operatorname {ctg} (\beta /2)}}={\frac {p-c}{\operatorname {ctg} (\gamma /2)}}}$, ${\displaystyle p}$ — полупериметр треугольника (Теорема котангенсов).

• Радиус вписанной окружности не больше одной девятой суммы высот треугольника^[9].

• Неравенство Эйлера: радиус вписанной окружности не превосходит половины радиуса описанной окружности и равенство имеет место лишь для равностороннего треугольника^[10].

• Предположим, что точки касания вписанной окружности делят стороны на отрезки длиной x и y, y и z, z и x. Тогда вписанная окружность имеет радиус^[11]

${\displaystyle r={\sqrt {\frac {xyz}{x+y+z}}}}$

и площадь треугольника равна

${\displaystyle K={\sqrt {xyz(x+y+z)}}.}$

• Если высоты, опущенные на стороны a, b и c есть h_a, h_b и h_c, то радиус вписанной окружности r равен одной трети гармонического среднего этих высот, то есть

${\displaystyle r={\frac {1}{h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1}+h_{c}^{-1}}}.}$

• Произведение радиуса вписанной окружности r и радиуса описанной окружности R треугольника со сторонами a, b и c равно^[1]

${\displaystyle rR={\frac {abc}{2(a+b+c)}}.}$

• Некоторые связи сторон, радиусов вписанной окружности и описанной окружностей^[12]:

${\displaystyle ab+bc+ca=s^{2}+(4R+r)r,}$

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=2s^{2}-2(4R+r)r.}$

• Любая прямая, проходящая через треугольник и делящая площадь треугольника и периметр пополам, проходит через центр вписанной окружности. Таких прямых может существовать три, две или одна^[13].

• Перпендикуляры, восставленные к сторонам треугольника в точках касания вневписанных окружностей, пересекаются в одной точке. Эта точка симметрична центру вписанной окружности относительно центра описанной окружности^[14].

Теорема Эйлера утверждает, что в треугольнике^[10]:

${\displaystyle (R-r_{in})^{2}=d^{2}+r_{in}^{2},}$

где R и r_in являются радиусами описанной и вписанной окружностей соответственно, а d — расстояние между центрами этих окружностей.

Для вневписанных окружностей уравнение выглядит похоже:

${\displaystyle (R+r_{ex})^{2}=d^{2}+r_{ex}^{2},}$

где r_ex — радиус одной из вневписанных окружностей, а d — расстояние между центрами описанной и вневписанной окружностей^[15][16][17]

• Возводя в квадрат и приводя подобные из первой формулы Эйлера выше имеем:

Квадрат расстояния от центра вписанной окружности I до центра описанной O задаётся уравнением^[18]

${\displaystyle OI^{2}=d^{2}=R(R-2r_{in}),}$

${\displaystyle OI^{2}={\frac {abc\,}{a+b+c}}\left[{\frac {abc\,}{(a+b-c)\,(a-b+c)\,(-a+b+c)}}-1\right]}$

Аналогично для второй формулы:

${\displaystyle d^{2}=R(R+2r_{ex}).}$

• Расстояние от центра вписанной окружности до центра N окружности девяти точек равно^[18]

${\displaystyle IN={\frac {1}{2}}(R-2r)<{\frac {1}{2}}R.}$

• Расстояние от вершины до точек касания вписанной окружности на прилегающих сторонах равно полусумме длин прилегающих сторон минус половина противолежащей стороны^[19]. Так, для вершины B и прилежащих точек касания T_A и T_C,

${\displaystyle BT_{A}=BT_{C}={\frac {BC+AB-AC}{2}}.}$

• Если обозначить центр вписанной окружности треугольника ABC буквой I, мы получим^[20]

${\displaystyle {\frac {IA\cdot IA}{CA\cdot AB}}+{\frac {IB\cdot IB}{AB\cdot BC}}+{\frac {IC\cdot IC}{BC\cdot CA}}=1}$

и^[21]

${\displaystyle IA\cdot IB\cdot IC=4Rr^{2}.}$

• Если обозначить за I центр вписанной окружности треугольника ABC, AD — биссектриса угла A, то ${\displaystyle {\frac {AI}{DI}}={\frac {AB+AC}{BC}}}$
• Центр вписанной окружности лежит в треугольнике, вершины которого являются серединами сторон треугольника^[18].
• Теорема о трезубце или теорема трилистника, или теорема Клайнэра: Если D — точка пересечения биссектрисы угла A с описанной окружностью треугольника ABC, I и J — соответственно центры вписанной и вневписанной окружности, касающейся стороны BC, тогда ${\displaystyle |DI|=|DB|=|DC|=|DJ|}$.

• Теорема Мансиона (составная часть Теоремы о трезубце). Середины трёх отрезков, соединяющих центр вписанной окружности с центрами вневписанных окружностей лежат на описанной окружности^[10].

• Теорема Харкорта. Пусть треугольник задан своими вершинами A, B и C, противоположные вершинам стороны имеют длины a, b и c, площадь равна K и прямая касается вписанной в треугольник окружности в произвольной точке. Обозначим расстояния от вершин треугольника до прямой через a ', b ' и c ', при этом, если вершина и центр окружности лежат по разные стороны от прямой, расстояние считается отрицательным. Тогда

${\displaystyle aa^{\prime }+bb^{\prime }+cc^{\prime }=2K.}$.

• Следующее отношение выполняется для радиуса r вписанной окружности, радиуса R описанной окружности, полупериметра s и радиусов вневписанных окружностей r_a, r_b, r_c^[12]:

${\displaystyle r_{a}+r_{b}+r_{c}=4R+r,}$

${\displaystyle r_{a}r_{b}+r_{b}r_{c}+r_{c}r_{a}=s^{2},}$

${\displaystyle r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}=(4R+r)^{2}-2s^{2},}$

• Окружность, проходящая через центры вневписанных окружностей, имеет радиус 2R^[12].

• Если H — ортоцентр треугольника ABC, то^[12]

${\displaystyle r_{a}+r_{b}+r_{c}+r=AH+BH+CH+2R,}$

${\displaystyle r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}+r^{2}=AH^{2}+BH^{2}+CH^{2}+(2R)^{2}.}$

• Вершины A, B и C треугольника ABC являются основаниями высот треугольника J_AJ_B,J_C,

где J_AJ_B,J_C — центры вневписанных окружностей^[10].

• Перпендикуляры, восставленные к сторонам треугольника в точках касания вневписанных окружностей, пересекаются в одной точке. Эта точка симметрична центру вписанной окружности относительно центра описанной окружности^[14].
• Центр Шпикера треугольника является радикальным центром его вневписанных окружностей^[22]. Если из центра Шпикера треугольника провести 6 касательных к 3 вневписанным окружностям треугольника, то все их длины будут равны между собой.

Пусть дан треугольник ABC. Пусть вневписанные окружности треугольника ABC, противоположные вершинам A, B и C, есть соответственно E_A, E_B, E_C (см. рисунок). Тогда окружность Аполлония E (на рис. справа показана зеленым цветом) касается внутренним образом сразу трех вневписанных окружностей треугольника ABC в точках соответственно E_A, E_B и E_C (см. рисунок)^[23].

Радиус окружности Аполлония равен ${\displaystyle {\frac {r^{2}+s^{2}}{4r}}}$, где r — радиус вписанной окружности и s — полупериметр треугольника^[24].

• Точка Аполлония Ap в Энциклопедии центров треугольника у Кларка Кимберлинга (Encyclopedia of Triangle Centers (ETC)) именуется как центр треугольника под именем X(181).
• Точка Аполлония Ap или X(181) определяется следующим образом:

Пусть A' , B' и C' есть точки касания окружности Аполлония E с соответствтвующими вневписанными окружностями. Тогда прямые AA' , BB' и CC' пересекаются в одной точке Ap, которую называют точкой Аполлония треугольника ABC.

Изогональное сопряжение имеет ровно четыре неподвижные точки (то есть точки, которые сопряжены самим себе): центр вписанной окружности и центры вневписанных окружностей треугольника^[25].

Ортоцентр треугольника изогонально сопряжён центру описанной окружности этого треугольника^[25].

• Некоторые (но не все) четырёхугольники имеют вписанную окружность. Они называются описанными четырёхугольниками. Среди свойств этих четырёхугольников наиболее важным является то, что суммы противоположных сторон равны. Это утверждение называется теоремой Пито.
• Некоторые (но не все) четырёхугольники имеют вневписанную окружность. Они называются внеописанными четырёхугольниками. Среди свойств этих четырёхугольников наиболее важное свойство отмечает теорема Уркхарта. Она утверждает:
• Если противоположные стороны выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точках E и F, то

${\displaystyle AB+BC=AD+DC\quad \Leftrightarrow \quad AE+EC=AF+FC.}$

• Вневписанная окружность
• Внеописанный четырёхугольник
• Вписанная окружность
• Вписанные и описанные фигуры для треугольника
• Вписанное коническое сечение^[англ.]
• Вписанная сфера
• Высота треугольника
• Замечательные точки треугольника
• Инцентр или Центр вписанной окружности
• Окружность
• Описанная окружность
• Описанный четырёхугольник
• Ортоцентр
• Степень точки относительно окружности
• Теорема Мансиона
• Теорема о трезубце
• Теорема Тебо 2 и 3
• Теорема Харкорта
• Точки Аполлония
• Степень точки относительно окружности
• Центр Шпикера
• Центроид
• Центроид треугольника
• Эллипс Мандарта
• Эллипс Штейнера

• Мякишев А.Г. Элементы геометрии треугольника. — М.: МЦНМО, 2002.
• Clark Kimberling. Triangle Centers and Central Triangles // Congressus Numerantium. — 1998. — Вып. 129. — С. i-xxv, 1-295.
• Sándor Kiss. The Orthic-of-Intouch and Intouch-of-Orthic Triangles // Congressus Numerantium. — 2006. — Вып. 6. — С. 171—177.
• Boris Odenhal. Some triangle centers associated with the circles tangent to the excircles // Forum Geometricorum. — 2010. — Т. 10.

• Derivation of formula for radius of incircle of a triangle
• Weisstein, Eric W. Incircle (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

• Triangle incenter Triangle incircle Incircle of a regular polygon With interactive animations
• Constructing a triangle’s incenter / incircle with compass and straightedge An interactive animated demonstration
• Equal Incircles Theorem at cut-the-knot
• Five Incircles Theorem at cut-the-knot
• Pairs of Incircles in a Quadrilateral at cut-the-knot
• An interactive Java applet for the incenter

У этой статьи есть несколько проблем, помогите их исправить: Необходимо проверить качество перевода c неуказанного языка, исправить содержательные и стилистические ошибки. Вы можете помочь улучшить эту статью (см. также рекомендации по переводу). Оригинал не указан. Пожалуйста, укажите его. (4 марта 2015) Стиль этой статьи неэнциклопедичен или нарушает нормы литературного русского языка. Статью следует исправить согласно стилистическим правилам Википедии. (4 марта 2015) Пожалуйста, после исправления проблемы исключите её из списка параметров. После устранения всех недостатков этот шаблон может быть удалён любым участником.