Геодезическая система координат

Геодези́ческая систе́ма координа́т — система координат, используемая для определения местоположения объектов на Земле. Отсчётной поверхностью является эллипсоид вращения или Ортогональная система координат, представляющий собой референц-версию, то есть адаптированный к какой-либо территории датум, геоцентрической системы координат.

Так как форма Земли является не шаром, для которого подходили бы астрономические координаты, а эллипсоидом, у которого отвесная линия не совпадает с нормалью к его поверхности, для измерений на поверхности планеты приходится использовать не астрономические, а геодезические координаты. При составлении географических карт этим отклонением пренебрегают.

Геодезические координаты используются в геодезии и навигации, в топографической съемке и картографии, а также спутниковыми навигационными системами для определения местоположения объектов на Земле в реальном времени. Положение точки в геодезической системе координат характеризуется математическими координатами абсциссой — ${\displaystyle Y,}$ ординатой — ${\displaystyle X}$ и аппликатой — ${\displaystyle Z,}$ и астрономическими:широтой — ${\displaystyle B,}$ долготой — ${\displaystyle L}$ и зенитом — ${\displaystyle H.}$ Которые, в свою очередь, взаимосвязаны между собой через геодезический азимут.

В геодезии используют прямоугольную систему координат, начало ${\displaystyle O}$ которой находится в центре масс Земли, ось ${\displaystyle Z}$ направлена по оси вращения Земли, ось ${\displaystyle X}$ совмещена с линией пересечения плоскостей экватора и начального (гринвичского) меридиана, ось ${\displaystyle Y}$ дополняет систему до правой. Такую систему координат называют геоцентрической или общеземной. В общеземной системе координат определяют положение пунктов на всей поверхности Земли. К таким можно отнести WGS-84, GRS80, ПЗ-90.

Если система координат введена для определения положения точек на части земной поверхности, например, на территории одного государства, её начало ${\displaystyle O}$ может быть значительно (до сотен метров) смещено относительно центра масс. В этом случае говорят о референцной системе координат.

Из-за неизбежных ошибок измерений при практическом задании общеземной системы возможно несовпадение её начала с центром масс Земли и повороты осей. В связи с этим существуют несколько реализаций общеземной геоцентрической системы координат, и возникает необходимость перехода от одной системы координат к другой. Задача преобразования координат возникает также при переходе от референцной системы координат к общеземной и обратно^[1].

Переход от одной прямоугольной системы координат к другой при одновременном переносе начала системы и повороте осей выполняют с помощью преобразования Гельмерта. Преобразование Гельмерта это преобразование с 7 элементами, с 3 параметрами смещения ${\displaystyle c_{x},~c_{y},~c_{z},}$ 3 параметрами разворота ${\displaystyle r_{x},~r_{y},~r_{z}}$ и 1 масштабным параметром ${\displaystyle s.}$ Преобразование Гельмерта — это приближённый метод, который можно считать точным только, когда параметры преобразования малы по сравнению с величинами векторов геоцентрической системы координат или такие параметры не учитываются. С такими условиями преобразование можно считать обратимым. Прочие последующие преобразование (преобразование Молоденского — 10 параметров и преобразование Молоденского — Бадекаса — 14 параметров), учитывающие дополнительные данные, осуществляются в несколько этапов, сложны и, как правило, необратимы. ввиду чего такие системы координат создаются строго на локальных участках с помощью Геодезических сетей III, IV классов, 1 и 2 разрядов. И используемые для решения исключительно прикладных задач на территории по площади не превышающей 3000—5000 км²^[2][3][4][5].

Геодезическая эллипсоидальная система координат ${\displaystyle B,~L,~H}$ связана с эллипсоидом. Координатными линиями в этой системе являются нормали к эллипсоиду.

Геодезическая широта ${\displaystyle B}$ — это угол между нормалью ${\displaystyle PP_{o}~O_{p}}$ к эллипсоиду и плоскостью экватора.

Геодезическая долгота ${\displaystyle L}$ — угол между плоскостью ${\displaystyle Y=0}$ начального меридиана и плоскостью ${\displaystyle ZOP}$ меридиана точки ${\displaystyle P.}$

Геодезическая высота ${\displaystyle H}$ — отрезок ${\displaystyle P_{o}~P}$ нормали к эллипсоиду^[как?].

Геодезические прямоугольные и эллипсоидальные системы согласованы друг с другом. Центры этих систем совмещены, ось ${\displaystyle Z}$ прямоугольной системы проходит вдоль малой оси эллипсоида, оси ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ совпадают. Связь систем устанавливают формулы представленные ниже.

${\displaystyle X=(N+H)\cos B\cos L;}$

${\displaystyle Y=(N+H)\cos B\sin L;}$

${\displaystyle Z=(N+H-Ne^{2})\sin B,}$

где ${\displaystyle N}$ — радиус кривизны первого вертикала, равный отрезку ${\displaystyle O_{p}~P_{o}}$ на рисунке 3, ${\displaystyle e}$ — эксцентриситет.

${\displaystyle N}$ находится по формуле:

${\displaystyle N=a/\surd (1-e^{2}\sin ^{2}B),}$

где ${\displaystyle a}$ — большая полуось эллипсоида^[1].

От геодезических эллипсоидальных координат к прямоугольным выполняют следующим образом: определяют долготу ${\displaystyle L}$ и радиус ${\displaystyle Q}$ параллели точки ${\displaystyle P}$ — отрезок ${\displaystyle OP1.}$ Это возможно сделать разными способами, например:

${\displaystyle tgL=Y/X;Q=X\cos L+Y\sin L,}$

или:

${\displaystyle Q={\sqrt {(}}X^{2}+Y^{2});\sin L=Y/Q;\cos L=X/Q.}$

Для широты находят:

${\displaystyle tgB=(Z+Ne^{2}\sin B)/Q.}$

Широту ${\displaystyle B}$ вычисляют методом приближений, причем в начальном приближении можно использовать разные её значения. Наиболее удобно найти в первом приближении приведенную широту ${\displaystyle u}$ точки ${\displaystyle P1}$ отсчетного эллипсоида, лежащего на пересечении его поверхности с радиусом-вектором внешней точки ${\displaystyle P}$^[1]:

${\displaystyle \operatorname {tg} u=Z/(Q{\sqrt {(}}1-e^{2})/}$

Приведенной широтой точки ${\displaystyle P1}$ эллипсоида называют геоцентрическую широту точки ${\displaystyle P',}$ являющейся проекцией точки ${\displaystyle P1}$ на вспомогательную сферу радиуса а нормалью к плоскости экватора. Приведенная и геодезическая широта связаны равенством:

${\displaystyle \operatorname {tg} u={\sqrt {(}}1-e^{2})\operatorname {tg} B.}$

После вычисления приведенной широты геодезическую широту находят по формуле Боуринга:

${\displaystyle \operatorname {tg} B=(Z+e^{2}(a\sin ^{3}a)/({\sqrt {(}}1-e^{2})\operatorname {tg} B))/(Q-e^{2}a\cos ^{3}a)}$

Геодезическую высоту ${\displaystyle H}$ вычисляют по формуле:

${\displaystyle H=Q\cos B+Z\sin B-a{\sqrt {(}}1-e^{2}\sin ^{2}B)}$^[1].

Отсчетный эллипсоид может располагаться внутри Земли по-разному. Если центр эллипсоида совмещен с центром масс Земли, а его поверхность близка к поверхности геоида, то эллипсоид называют геоцентрическим, не стоит путать с общеземным. Если эллипсоид близок к геоиду на ограниченной площади, а центр его смещен относительно центра масс, его называют референц-эллипсоидом. Референц-эллипсоид, как правило, устанавливается для использования в геодезический работах в той или иной стране, отсюда и его название (референция, то есть рекомендация)^[1].

Данная система, основанная на Референц-эллипсоиде, поддерживалась и использовалась в ряде научных и прикладных задач до 1961 пунктами Лапласа и астропунктами II класса, которые были частично обращены в Геодезические сети сгущения II класса, и продолжались использоваться как экспедиционные пункты II класса преимущественно в необжитых и мало обжитых районах, как обоснования для мелкомасштабных географических съемок. После 1961 г геодезические сети II класса начинают строить в виде сплошных сетей треугольников, полностью заполняющих полигоны АГС I. Работы по созданию государственной геодезической сети были в основном закончены к 1989 году. Сеть пунктов I-го и II-го классов сплошь покрывала территорию страны. В 1990 году приказом ГУГК при Совете Министров СССР создано опытно-производственное подразделение МАГП (Московского аэрогеодезического предприятия) для производства работ с использованием спутниковых систем в соответствии с концепцией перехода топографо-геодезического производства на современные методы спутниковых определений, получившее наименование ВАГП (Верхневолжского аэрогеодезического предприятия). Результаты работ проводимых в 1991 показали не удовлетворительное состояние сети. В 1993—1995 в уравнивание включены: Космическая и Доплеровская сети (служившие основанием для Геоцентрической системы ПЗ-90). В 1996 было проведено заключительного уравнивания и к концу 1990-х, построена сеть из 134 опорных пунктов ГГС включавших 35 пунктов КГС и ДГС, покрывающая всю территорию страны при среднем расстоянии между смежными пунктами 400—500 км^{[6][7][8][9][10][11]}.

Постановлением правительства РФ от 24 ноября 2016 года за номером 1240 использование системы координат СК-42 допускается до 1 января 2021 г. Взамен вводится геоцентрическая система ГСК-2011 основанная на ПЗ-90 (являющаяся датумом общеземного элипсоида ITRF).

Эллипсоид можно задать двумя параметрами:

Параметр	Символ
Большая полуось	а
Геометрическое сжатие	${\displaystyle 1/f}$

Из а и ${\displaystyle 1/f}$ можно вывести другие параметры эллипсоида:

Параметр	Символ
Малая полуось	${\displaystyle b=a(1-f)}$
Первый эксцентриситет	${\displaystyle e^{2}=1-b^{2}/a^{2}=f(2-f)}$
Второй эксцентриситет	${\displaystyle e'^{2}=a^{2}/b^{2}-1=(f(2-f))/(1-f)^{2}}$

• Огородова Л. В. Высшая геодезия. Часть III. Теоретическая геодезия, Москва, Геодезкартиздат 2006. ISBN 5-86066-076-6^[1]
• Сайт Информационно-аналитического центра координатно-временного и навигационного обеспечения. Прикладной потребительский центр ГЛОНАСС.

• https://geographiclib.sourceforge.io (включает в себя утилита CartConvert, который преобразует геодезические координаты в геоцентрические (ECEF) или в локальные декартовые (ENU) координаты. Это обеспечивает точные результаты для всех входных данных, включая точки, близкие к центру Земли.
• https://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/15285-geodetic-toolbox (Набор геодезических функций, которые решают различные задачи геодезии в среде Matlab).

• Геоцентрические координаты
• Датум
• Географические координаты