Гиперболическое множество

В теории динамических систем, говорят, что диффеоморфизм ${\displaystyle f}$ многообразия ${\displaystyle M}$ гиперболичен на инвариантном множестве ${\displaystyle \Lambda }$, если касательное расслоение над ${\displaystyle \Lambda }$ допускает непрерывное разложение в прямую сумму,

${\displaystyle T_{\Lambda }M=E^{u}\oplus E^{s},}$

причём подрасслоения ${\displaystyle E^{u}}$ и ${\displaystyle E^{s}}$ инвариантны относительно динамики, и вектора ${\displaystyle E^{u}}$ растягиваются, а вектора ${\displaystyle E^{s}}$ сжимаются под действием динамики:

${\displaystyle \|f^{n}(v)\|\leq c_{1}\,\lambda ^{n}\|v\|\quad \forall n\in \mathbb {N} ,\,v\in E^{s},}$

${\displaystyle \|f^{n}(v)\|\geq c_{2}\,\mu ^{n}\|v\|\quad \forall n\in \mathbb {N} ,\,v\in E^{u},}$

где ${\displaystyle c_{1},c_{2}>0}$ и ${\displaystyle \mu >1>\lambda >0}$ — константы.

Также в этом случае говорят, что ${\displaystyle \Lambda }$ — гиперболическое инвариантное множество отображения ${\displaystyle f}$.

Линейная система ОДУ называется гиперболической, если все её собственные значения (вообще говоря, комплексные) имеют отличные от нуля вещественные части.^[1]

• Гиперболическая неподвижная точка
• Диффеоморфизм Аносова
• Подкова Смейла

• Каток А. Б., Хассельблат Б.^[нем.]. Введение в современную теорию динамических систем с обзором последних достижений / Пер. с англ. под ред. А. С. Городецкого. — М.: МЦНМО, 2005. — 464 с. — ISBN 5-94057-063-1.