Гиперболичность в смысле Громова

Гиперболичность в смысле Громова или ${\displaystyle \delta }$-гиперболичность — глобальная характеристика метрического пространства, грубо говоря, напоминающая отрицательность кривизны; в частности пространство Лобачевского гиперболично в смысле Громова.

Гиперболичность в смысле Громова в основном применяется в геометрической теории групп. Она даёт удобную геометрическую интерпретацию для групп малого сокращения^[англ.].

Пространство ${\displaystyle X}$ является ${\displaystyle \delta }$-гиперболичным если для любых точек ${\displaystyle x,y,z\in X}$ выполнялось

${\displaystyle (x,z)_{p}\geqslant \min {\big \{}(x,y)_{p},(y,z)_{p}{\big \}}-\delta ,}$

где ${\displaystyle (x,y)_{p}}$ обозначает произведение Громова:

${\displaystyle (y,z)_{x}={\frac {1}{2}}{\big (}|x-y|_{X}+|x-z|_{X}-|y-z|_{X}{\big )}.}$

Последнее неравенество эквивалентно выполнению

${\displaystyle |p-q|_{X}+|x-y|_{X}\leqslant \max\{|p-x|_{X}+|q-y|_{X},|p-y|_{X}+|q-x|_{X}\}+2\cdot \delta }$

для любых точек ${\displaystyle p,q,x,y\in X}$.

Есть много других определений (иногда отличающихся изменением ${\displaystyle \delta }$ в несколько раз). Например следующее: если пространство ${\displaystyle X}$ геодезическое, то это условие эквивалентно тому, что для любых точек x, y, z пространства отрезок геодезической [xy] лежит в ${\displaystyle \delta }$-окрестности объединения [xz] и [yz]. Иными словами — на кратчайшей [xy] найдётся точка t такая, что [xt] лежит в ${\displaystyle \delta }$-окрестности [xz], а [ty] лежит в ${\displaystyle \delta }$-окрестности [zy].

• Гиперболичность является инвариантом квазиизометричных преобразований. Благодаря этому, гиперболичность группы не зависит от выбора системы образующих, использованной для задания словарной метрики.
• Если пространство содержит изометричную копию ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, оно не может быть гиперболичным. В частности, декартово произведение почти никогда^{[прояснить]} не может быть гиперболическим.
• Инъективная оболочка ${\displaystyle \delta }$-гиперболического пространства ${\displaystyle \delta }$-гиперболическая.^[1]
  • В частности, любое ${\displaystyle \delta }$-гиперболическое пространство изометрично подмножеству в геодезическом ${\displaystyle \delta }$-гиперболическом пространстве.

• Любое компактное пространство гиперболично.
• Любое дерево является 0-гиперболическим пространством.
• Плоскость Лобачевского гиперболична в смысле Громова. Полагая, что кривизна равна ${\displaystyle -1}$ плоскость Лобачевского является ${\displaystyle \ln(2)}$-гиперболической (в смысле четырёхточеного определения).
  • Более того, любое ${\displaystyle \mathrm {CAT} (-1)}$ пространство ${\displaystyle \ln(2)}$-гиперболично.

• П. де ля Арп, Э. Гис, Гиперболические группы по Михаилу Громову

• Mikhail Gromov, Hyperbolic groups. Essays in group theory, 75—263, Math. Sci. Res. Inst. Publ., 8, Springer, New York, 1987.

Это заготовка статьи по математике. Помогите Википедии, дополнив её.

В статье есть список источников, но не хватает сносок. Без сносок сложно определить, из какого источника взято каждое отдельное утверждение. Вы можете улучшить статью, проставив сноски на источники, подтверждающие информацию. Сведения без сносок могут быть удалены. (27 мая 2016)