Гиперболоидная модель

Красная дуга окружности является геодезической в дисковой модели Пуанкаре. Она проектируется на коричневую геодезическую на зелёном гиперболоиде.

Гиперболоидная модель, известная также как модель Минковского или лоренцева модель (Герман Минковский, Хендрик Лоренц), является моделью n-мерной геометрии Лобачевского, в которой каждая точка представлена точкой на верхней поверхности $S^{+}$ двуполостного гиперболоида в (n+1)-мерном пространстве Минковского а m-плоскости представлены пересечением (m+1)-плоскостей в пространстве Минковского с S⁺. Функция гиперболического расстояния в этой модели удовлетворяет простому выражению. Гиперболоидная модель n-мерного гиперболического пространства тесно связана с моделью Бельтрами — Клейна и дисковой моделью Пуанкаре, так как они являются проективными моделями в смысле, что группа движений^[англ.] является подгруппой проективной группы.

Квадратичная форма Минковского

Если $(x_{0},x_{1},\dots ,x_{n})$ являются векторами в (n + 1)-мерном координатном пространстве $\mathbb {R} ^{n+1}$ , квадратичная форма Минковского определяется как

Q(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})=x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-\ldots -x_{n}^{2}.

Вектора $v\in \mathbb {R} ^{n+1}$ , такие, что $Q(v)=1$ , образуют n-мерный гиперболоид S, состоящий из двух связных компонент, или листов — верхний, или будущее, лист $S^{+}$ , где $x_{0}>0$ и нижний, или прошлое, лист $S^{-}$ , где $x_{0}<0$ . Точки n-мерной гиперболоидной модели являются точками на листе будущего $S^{+}$ .

Билинейная форма Минковского B является поляризацией квадратичной формы Минковского Q,

B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=(Q(\mathbf {u} +\mathbf {v} )-Q(\mathbf {u} )-Q(\mathbf {v} ))/2.

Или в явном виде,

B((x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{0},y_{1},\ldots ,y_{n}))=x_{0}y_{0}-x_{1}y_{1}-\ldots -x_{n}y_{n}.

Гиперболическое расстояние между двумя точками u и v пространства $S^{+}$ задаётся формулой $d(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=\operatorname {\mathrm {arch} } (B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} ))$ ,

где arch является обратной функцией гиперболического косинуса.

Прямые

Прямая в гиперболическом n-пространстве моделируется геодезической на гиперболоиде. Геодезическая на гиперболоиде является (непустым) пересечением с двумерным линейным подпространством (включая начало координат) n+1-мерного пространства Минковского. Если мы возьмём в качестве u и v базисные вектора линейного подпространства с

B(\mathbf {u} ,\mathbf {u} )=1

B(\mathbf {v} ,\mathbf {v} )=-1

B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=B(\mathbf {v} ,\mathbf {u} )=0

и используем w как параметр для точек на геодезической, то

\mathbf {u} \,\mathrm {ch} \,w+\mathbf {v} \,\mathrm {sh} \,w

будет точкой на геодезической^[1].

Более обще, k-мерная «плоскость» в гиперболическом n-пространстве будет моделироваться (непустым) пересечением гиперболоида с k+1-мерным линейным подпространством (включая начало координат) пространства Минковского.

Движения

Неопределённая ортогональная группа O(1,n), называемая также (n+1)-мерной группой Лоренца, является группой Ли вещественных (n+1)×(n+1) матриц, которая сохраняет билинейную форму Минковского. Другими словами, это группа линейных движений пространства Минковского. В частности, эта группа сохраняет гиперболоид S. Напомним, что неопределённые ортогональные группы имеют четыре связные компоненты, соответствующие обращению или сохранению ориентации на каждом подпространстве (здесь — 1-мерном и n-мерном), и образуют четверную группу Клейна. Подгруппа O(1,n), которая сохраняет знак первой координаты, является ортохронной группой Лоренца, обозначаемой O⁺(1,n), и имеет две компоненты, соответствующие сохранению или обращению ориентации подпространства. Её подгруппа SO⁺(1,n), состоящая из матриц с определителем единица, является связной группой Ли размерности n(n+1)/2, которая действует на S⁺ линейными автоморфизмами и сохраняет гиперболическое расстояние. Это действие транзитивно и является стабилизатором вектора (1,0,…,0), состоящим из матриц вида

{\begin{pmatrix}1&0&\ldots &0\\0&&&\\\vdots &&A&\\0&&&\\\end{pmatrix}}

где $A$ принадлежит компактной специальной ортогональной группе SO(n) (обобщающей группу вращений SO(3) для n = 3). Отсюда следует, что n-мерное гиперболическое пространство может быть представлено как однородное пространство и риманово симметрическое пространство ранга 1,

\mathbb {H} ^{n}=\mathrm {SO} ^{+}(1,n)/\mathrm {SO} (n).

Группа SO⁺(1,n) является полной группой сохраняющих ориентацию движений n-мерного гиперболического пространства.

История

В нескольких статьях между 1878 и 1885 Вильгельм Киллинг^[2]^[3]^[4] использовал представление геометрии Лобачевского, которое он приписывает Карлу Вейерштрассу. В частности, он обсуждает квадратичные формы, такие как $k^{2}t^{2}+u^{2}+v^{2}+w^{2}=k^{2}$ или для произвольных размерностей $k^{2}x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}=k^{2}$ , где $k$ является двойственной мерой кривизны, $k^{2}=\infty$ означает евклидову геометрию, $k^{2}>0$ эллиптическую геометрию, а $k^{2}<0$ означает гиперболическую геометрию. Для подробностей см. История преобразований Лоренца, раздел «Киллинг»^[англ.].
Согласно Джереми Грею (1986)^[5] Пуанкаре использовал гиперболоидную модель в его персональных заметках в 1880. Пуанкаре опубликовал свои результаты в 1881, в которых он обсуждает инвариантность квадратичной формы $\xi ^{2}+\eta ^{2}-\zeta ^{2}=-1$ ^[6]. Грей показывает, где гиперболоидная модель явно упоминается в более поздних работах Пуанкаре^[7]. Для подробностей см. История преобразований Лоренца, раздел «Пуанкаре»^[англ.].
Также Хомершем Кокс в 1882^[8]^[9] использовал координаты Вейерштрасса (без использования этого имени), удовлетворяющие соотношению $z^{2}-x^{2}-y^{2}=1$ , а также соотношению $w^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}=1$ . Для подробностей см. История преобразований Лоренца, раздел «Кокс»^[англ.].
Далее модель использовали Альфред Клебш и Фердинанд фон Линдеман в 1891 при обсуждении соотношений $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-4k^{2}x_{3}^{2}=-4k^{2}$ и $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-4k^{2}x_{4}^{2}=-4k^{2}$ ^[10]. Для подробностей см. История преобразований Лоренца, раздел «Линдерман»^[англ.].
Координаты Вейерштрасса использовали также Герард (1892), Хаусдорф (1899), Вудс (1903) и Либман (1905)^[англ.].

Позднее (1885) Киллинг утверждал, что фраза координаты Вейерштрасса соотносится с элементами гиперболоидной модели следующим образом: если задано скалярное произведение $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ на $\mathbb {R} ^{n}$ , координаты Вейерштрасса точки $x\in \mathbb {R} ^{n}$ равны

(x,{\sqrt {1+\langle x,x\rangle }})\in \mathbb {R} ^{n+1},

что можно сравнить с выражением

(x,{\sqrt {1-\langle x,x\rangle }})\in \mathbb {R} ^{n+1}

для модели полусферы^[11].

Как метрическое пространство гиперболоид рассматривал Александр Макфарлейн^[англ.] в книге Papers in Space Analysis (1894). Он заметил, что точки на гиперболоиде можно записать как

\mathrm {sh} \,A+\alpha \,\mathrm {sh} \,A,

где α является базисным вектором, ортогональным оси гиперболоида. Например, он получил гиперболический закон косинусов^[англ.] путём использования алгебры физики^[англ.]^[1].

Х. Дженсен сфокусирвался на гиперболоидной модели в статье 1909 года «Представление гиперболической геометрии на двухполостном гиперболоиде»^[12]. В 1993 У. Ф. Рейнольдс изложил раннюю историю модели в статье, напечатанной в журнале American Mathematical Monthly^[13].

Будучи общепризнанной моделью в двадцатом веке, её отождествил с Geschwindigkeitsvectoren (нем., векторами скорости) Герман Минковский в пространстве Минковского. Скотт Вальтер в статье 1999 «Неевклидов стиль специальной теории относительности»^[14] упоминает осведомлённость Минковского, но ведёт происхождение модели к Гельмгольцу, а не к Вейерштрассу или Киллингу.

В ранние годы релятивистскую гиперболоидную модель использовал Владимир Варичак^[англ.] для объяснения физики скорости. В его докладе в Немецком Математическом обществе в 1912 он ссылался на координаты Вейерштрасса^[15].

См. также

Примечания

↑ ¹ ² Macfarlane, 1894.
↑ Killing, 1878, с. 72-83.
↑ Killing, 1880, с. 265-287.
↑ Killing, 1885.
↑ Gray, 1986, с. 271-2.
↑ Poincaré, 1881, с. 132 -138.
↑ Poincaré, 1887, с. 71-91.
↑ Cox, 1881, с. 178-192.
↑ Cox, 1882, с. 193-215.
↑ Lindemann, 1891, с. 524.
↑ Deza E., Deza M., 2006.
↑ Jansen, 1909, с. 409-440.
↑ Reynolds, 1993, с. 442-55.
↑ Scott, 1999, с. 91–127.
↑ Varićak, 1912, с. 103–127.

Литература

Killing W. Ueber zwei Raumformen mit constanter positiver Krümmung (нем.) // Journal für die reine und angewandte Mathematik. — 1878. — Bd. 86. — S. 72-83.
Killing W. Die Rechnung in den Nicht-Euklidischen Raumformen (нем.) // Journal für die reine und angewandte Mathematik. — 1880. — Bd. 89. — S. 265-287.
Killing W. Die nicht-euklidischen Raumformen (нем.). — 1885.

Jeremy Gray. Linear differential equations and group theory from Riemann to Poincaré (англ.). — 1986. — P. 271-2.
Poincaré H. Sur les applications de la géométrie non-euclidienne à la théorie des formes quadratiques (фр.) // Association française pour l'avancement des sciences. — 1881. — Vol. 10. — P. 132-138.
Poincaré H. On the fundamental hypotheses of geometry // Collected works (англ.). — 1887. — Vol. 11. — P. 71-91.
Cox H. Homogeneous coordinates in imaginary geometry and their application to systems of forces (англ.) // The quarterly journal of pure and applied mathematics. — 1881. — Vol. 18, iss. 70. — P. 178-192.
Cox H. Homogeneous coordinates in imaginary geometry and their application to systems of forces (continued) (англ.) // The quarterly journal of pure and applied mathematics. — 1882. — Vol. 18, iss. 71. — P. 193-215.
Lindemann F. Vorlesungen über Geometrie von Clebsch II (нем.). — Leipzig, 1891. — S. 524.
Elena Deza, Michel Deza. Dictionary of Distances (англ.). — 2006.
Jansen H. Abbildung hyperbolische Geometrie auf ein zweischaliges Hyperboloid (нем.) // Mitt. Math. Gesellsch Hamburg. — 1909. — H. 4. — S. 409-440.
Alexander Macfarlane. Papers on Space Analysis (англ.). — New York: B. Westerman, 1894.
Alekseevskij D.V., Vinberg E.B., Solodovnikov A.S. Geometry of Spaces of Constant Curvature (англ.). — Berlin, New York: Springer-Verlag, 1993. — (Encyclopaedia of Mathematical Sciences). — ISBN 3-540-52000-7.
James Anderson. Hyperbolic Geometry (англ.). — 2nd. — Berlin, New York: Springer-Verlag, 2005. — (Springer Undergraduate Mathematics Series). — ISBN 978-1-85233-934-0.
John G. Ratcliffe. Глава 3 // Foundations of hyperbolic manifolds (англ.). — Berlin, New York: Springer-Verlag, 1994. — ISBN 978-0-387-94348-0.
Miles Reid, Balázs Szendröi. Geometry and Topology (англ.). — Cambridge University Press, 2005. — P. Figure 3.10, p 45. — ISBN 0-521-61325-6.
Patrick J. Ryan. Euclidean and non-Euclidean geometry: An analytical approach (англ.). — Cambridge, London, New York, New Rochelle, Melbourne, Sydney: Cambridge University Press, 1986. — ISBN 0-521-25654-2.
William F. Reynolds. Hyperbolic geometry on a hyperboloid (англ.) // American Mathematical Monthly. — 1993. — Iss. 100. — P. 442-55. — JSTOR 2324297.
Scott Walter. The non-Euclidean style of Minkowskian relativity // The Symbolic Universe: Geometry and Physics (англ.) / J. Gray. — Oxford University Press, 1999. — P. 91–127.
Varićak V. On the Non-Euclidean Interpretation of the Theory of Relativity (англ.) // Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. — 1912. — Vol. 21. — P. 103–127.