Гипотеза Уиллмора

Гипотеза Уиллмора — это нижняя граница энергии Уиллмора тора. Гипотеза носит имя английского математика Томаса Уиллмора, который сформулировал её в 1965 году^[1]. Доказательство гипотезы анонсировано Маркишем и Невишом в 2012 году и опубликовано в 2014 году^[2][3].

Пусть ${\displaystyle v:M\to \mathbb {R} ^{3}}$ будет гладким погружением компактной ориентированной поверхности. Пусть дано многообразие M и риманова метрика, порождённая погружением ${\displaystyle v}$. Пусть ${\displaystyle H:M\to \mathbb {R} }$ будет средней кривизной (среднее арифметическое главных кривизн κ₁ и κ₂ в каждой точке). В такой нотации энергия Уиллмора W(M) многообразия M задаётся выражением

${\displaystyle W(M)=\int _{M}H^{2}\,dA.}$

Нетрудно доказать, что энергия Уиллмора удовлетворяет неравенству ${\displaystyle W(M)\geqslant 4\pi }$ с равенством тогда и только тогда, когда многообразие M является вложенной сферой.

Вычисление величины W(M) для нескольких примеров даёт повод предположить, что должна быть граница, лучшая чем ${\displaystyle W(M)\geqslant 4\pi }$ для поверхностей с родом ${\displaystyle g(M)>0}$. В частности, вычисление W(M) для тора с различными симметриями привели Уиллмора в 1965 году к следующей гипотезе, которая теперь носит его имя

Для любого тора M, гладко погружённого в R³, выполняется неравенство ${\displaystyle W(M)\geqslant 2\pi ^{2}}$.

В 1982 году Питер Ли и Яу Шинтун доказали гипотезу в невложенном случае, показав, что если ${\displaystyle f:\Sigma \to S^{3}}$ является погружением компактной поверхности, которая не является вложением, то W(M) не менее ${\displaystyle 8\pi }$^[4].

В 2012 году Фернанду Кода Маркиш и Андре Невиш доказали гипотезу во вложенном случае с помощью минимаксной теории Альмгрена — Питтса минимальных поверхностей^{[англ.][2][3]}. Мартин Шмидт заявил о доказательстве в 2002 году^[5], но работу не приняли для публикации ни в один рецензируемый математический журнал (хотя работа не содержала доказательство гипотезы Уиллмора, Шмидт доказал некоторые другие важные гипотезы в работе). До доказательства Маркиша и Невиша гипотеза Уиллмора была уже доказана для многих специальных случаев, таких как трубчатый тор (самим Уилмором) и торы вращения (Лангером и Сингером)^[6].

• Thomas J. Willmore. Note on embedded surfaces // Analele Ştiinţifice ale Universităţii "Al. I. Cuza" din Iaşi, Secţiunea I a Matematică. — 1965. — Т. 11B.
• Peter Li, Shing Tung Yau. A new conformal invariant and its applications to the Willmore conjecture and the first eigenvalue of compact surfaces // Inventiones Mathematicae. — 1982. — Т. 69, вып. 2. — doi:10.1007/BF01399507.
• Frank Morgan. Math Finds the Best Doughnut // The Huffington Post. — 2012.
• Fernando C. Marques, André Neves. Min-max theory and the Willmore conjecture // Annals of Mathematics. — 2014. — Т. 179. — С. 683–782. — doi:10.4007/annals.2014.179.2.6. — arXiv:1202.6036.
• Martin U. Schmidt. A proof of the Willmore conjecture. — 2002. — arXiv:math/0203224.
• Joel Langer, David Singer. Curves in the hyperbolic plane and mean curvature of tori in 3-space // The Bulletin of the London Mathematical Society. — 1984. — Т. 16, вып. 5. — С. 531–534. — doi:10.1112/blms/16.5.531.

У этой статьи есть несколько проблем, помогите их исправить: Необходимо проверить качество перевода c неуказанного языка, исправить содержательные и стилистические ошибки. Вы можете помочь улучшить эту статью (см. также рекомендации по переводу). Оригинал не указан. Пожалуйста, укажите его. (7 июля 2020) Стиль этой статьи неэнциклопедичен или нарушает нормы литературного русского языка. Статью следует исправить согласно стилистическим правилам Википедии. (7 июля 2020) Пожалуйста, после исправления проблемы исключите её из списка параметров. После устранения всех недостатков этот шаблон может быть удалён любым участником.