Гипотеза Эрдёша об арифметических прогрессиях

Гипотеза Эрдёша об арифметических прогрессиях^[1] — предположение в аддитивной комбинаторике, сформулированное Палом Эрдёшем, согласно которому в случае, если сумма обратных величин положительных натуральных чисел некоторого множества расходится, то множество содержит сколь угодно длинные арифметические прогрессии.

Формально, если:

${\displaystyle \sum _{n\in A}{\frac {1}{n}}=\infty }$,

то есть ${\displaystyle A}$ — большое множество^[англ.], то ${\displaystyle A}$ содержит арифметическую прогрессию любой наперёд заданной длины.

Эрдёш обещал в своё время премию в 3 тыс. долларов США за доказательство гипотезы^[2], по состоянию на 2008 год была установлена премия в 5 тыс. долларов США^[3].

Гипотеза Эрдёша является обобщением теоремы Семереди (поскольку ряд ${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{kn}}={\frac {1}{k}}\left({\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}}\right)}$ расходится как гармонический), а также теоремы Грина — Тао (поскольку сумма ${\displaystyle \sum \limits _{p}{\frac {1}{p}}}$, где суммирование ведётся по простым числам, также расходится^[4]).

Ввиду эквивалентности расхождению ${\displaystyle \sum \limits _{t=1}^{\infty }{{a_{k}}(4^{t})}}$, гипотеза Эрдёша может быть доказана, если будет доказано, что ${\displaystyle \forall k\geq 3:\ \forall \varepsilon >0:\ a_{k}(N)=O\left({\frac {1}{(\log {N})^{1+\varepsilon }}}\right)}$.

Однако на данный момент доказано только^[5], что ${\displaystyle a_{k}(N)=O\left({\frac {1}{(\log {\log {n}})^{c_{k}}}}\right)}$, где ${\displaystyle c_{k}=2^{-2^{k+9}}}$, а также, в частном случае ${\displaystyle k=3}$, что ${\displaystyle a_{3}(N)=O\left({\sqrt {\frac {\log {\log {N}}}{\log {N}}}}\right)}$.

• P. Erdős: Résultats et problèmes en théorie de nombres Архивная копия от 28 апреля 2016 на Wayback Machine, Séminaire Delange-Pisot-Poitou (14e année: 1972/1973), Théorie des nombres, Fasc 2., Exp. No. 24, pp. 7,
• P. Erdős: Problems in number theory and combinatorics, Proc. Sixth Manitoba Conf. on Num. Math., Congress Numer. XVIII(1977), 35-58.
• P. Erdős: On the combinatorial problems which I would most like to see solved, Combinatorica, 1(1981), 28. doi:10.1007/BF02579174
• И. Д. Шкредов. Теорема Семереди и задачи об арифметических прогрессиях // УМН. — 2006. — Т. 61, вып. 6(372). — С. 111—178. — doi:10.4213/rm5293.

У этой статьи есть несколько проблем, помогите их исправить: Необходимо проверить качество перевода c неуказанного языка, исправить содержательные и стилистические ошибки. Вы можете помочь улучшить эту статью (см. также рекомендации по переводу). Оригинал не указан. Пожалуйста, укажите его. (7 февраля 2013) Стиль этой статьи неэнциклопедичен или нарушает нормы литературного русского языка. Статью следует исправить согласно стилистическим правилам Википедии. (7 февраля 2013) Пожалуйста, после исправления проблемы исключите её из списка параметров. После устранения всех недостатков этот шаблон может быть удалён любым участником.