Два графа и гомеоморфны, если существует изоморфизм некоторого подразделения графа и некоторого подразделения графа [1]. Если рёбра графа понимать как отрезки, соединяющие вершины (как обычно рисуется на иллюстрациях), то два графа гомеоморфны в контексте теории графов, когда они гомеоморфны в топологическом смысле.
В общем случае подразделение графа G (иногда используется термин расширение[2] или подразбиение) — это граф, полученный делением рёбер в G. Деление некоторого ребра e с конечными вершинами {u,v} даёт граф, содержащий новую вершину w и два ребра {u,w} и {w,v} вместо ребра e[1].
Например, ребро e с концами {u,v}:
может быть разделено на два ребра, e1 и e2:
Обратная операция, исключение вершины w с инцидентными ей рёбрами (e1 ,e2), заменяет смежные вершине w оба ребра (e1 ,e2) на новое ребро, соединяющее конечные точки пары. Следует подчеркнуть, что данная операция применима только к вершинам, инцидентным в точности двум рёбрам.
Например, простой связный граф с двумя рёбрами e1 {u,w} и e2 {w,v}:
имеет вершину (с именем w), которая может быть исключена, в результате получим:
Барицентрическое подразделение разбивает каждое ребро графа. Это специальный вид подразделения, дающий всегда двудольный граф. Эту процедуру можно повторять, так что n-ое барицентрическое подразделение является барицентрическим подразделением подразделения n-1. Второе такое подразделение всегда является простым графом.
Обобщение, следующее из теоремы Робертсона — Сеймура, утверждает, что для любого целого g существует конечное препятствующее множество графов , такое, что граф H вложим в поверхность родаg тогда и только тогда, когда H не содержит копии, гомеоморфной какому-либо графу . Например, состоит из подграфов Куратовского.
Пример
В следующем примере графы G и H гомеоморфны.
G
H
Если граф G' создан подразделением внешних рёбер графа G, а граф H' создан подразделением внутренних рёбер графа H, то G' и H' имеют похожие графические представления:
G', H'
Таким образом, существует изоморфизм между графами G' и H', что и означает, что G и H гомеоморфны.
↑Более широко изучаемая в литературе задача с именем «задача гомеоморфизма подграфов» спрашивает, изоморфно ли подразделение графа H подграфу G. Если H является циклом с n вершинами, задача эквивалентна задаче нахождения гамильтонова цикла, а потому NP-полна. Однако эта формулировка эквивалентна только вопросу, гомеоморфен ли граф H подграфу G, когда H не содержит вершин степени два, поскольку это не позволяет исключения в H. Можно показать, что поставленная задача NP-полна путём небольшой модификации гамильтонова цикла — добавляем по одной вершине в H и G, смежные всем другим вершинам. Тогда увеличенный на одну вершину граф G содержит подграф, гомеоморфный колесу с (n + 1) вершинами, тогда и только тогда, когда G гамильтонов. По поводу сложности задачи гомеоморфизма подграфа смотрите статью ЛаПауга и Ривеста (LaPaugh, Rivest 1980).
Литература
Richard J. Trudeau.Определение 20. If some new vertices of degree 2 are added to some of the edges of a graph G, the resulting graph H is called an expansion of G. // Introduction to Graph Theory. — Corrected, enlarged republication.. — New York, 1993. — С. 76. — ISBN 978-0-486-67870-2.
Andrea S. LaPaugh, Ronald L. Rivest. The subgraph homeomorphism problem // Journal of Computer and System Sciences. — 1980. — Т. 20, вып. 2. — С. 133–149. — doi:10.1016/0022-0000(80)90057-4.
Jay Yellen, Jonathan L. Gross. Graph Theory and Its Applications. — 2nd. — Boca Raton: Chapman & Hall/CRC, 2005. — (Discrete Mathematics and Its Applications). — ISBN 978-1-58488-505-4.
Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. — М.: Наука, 1986.
У этой статьи есть несколько проблем, помогите их исправить:
Необходимо проверить качество перевода c неуказанного языка, исправить содержательные и стилистические ошибки.
Пожалуйста, после исправления проблемы исключите её из списка параметров. После устранения всех недостатков этот шаблон может быть удалён любым участником.
