Дискретный оператор Лапласа

О дискретном эквиваленте преобразования Лапласа см. Z-преобразование.

В математике дискретный оператор Лапласа — аналог непрерывного оператора Лапласа, определяемого как отношения на графе или дискретной сетке. В случае конечномерного графа (имеющего конечное число вершин и рёбер) дискретный оператор Лапласа имеет более общее название: матрица Лапласа.

Понятие о дискретном операторе Лапласа происходит из таких физических проблем, как модель Изинга и петлевая квантовая гравитация, а также из изучения динамических систем. Этот оператор используется также в вычислительной математике как аналог непрерывного оператора Лапласа. Будучи известным как фильтр Лапласа, часто находит приложение в обработке изображений. Кроме того, оператор используется в машинном обучении для кластеризации и полуавтоматического обучения на графах соседства.

Дискретный оператор Лапласа часто используется в обработке изображений, например в задаче выделения границ или в приложениях оценки движения. Дискретный лапласиан определяется как сумма вторых производных и вычисляется как сумма перепадов на соседях центрального пиксела.

Для одномерных, двухмерных и трёхмерных сигналов дискретный лапласиан можно задать как свёртку со следующими ядрами:

Фильтр 1D: ${\displaystyle {\vec {D}}_{x}^{2}={\begin{bmatrix}1&-2&1\end{bmatrix}}}$

Фильтр 2D: ${\displaystyle \mathbf {D} _{xy}^{2}={\begin{bmatrix}0&1&0\\1&-4&1\\0&1&0\end{bmatrix}}}$

или с диагоналями:

Фильтр 2D: ${\displaystyle \mathbf {D} _{xy}^{2}={\begin{bmatrix}1&1&1\\1&-8&1\\1&1&1\end{bmatrix}}}$

Фильтр 3D: ${\displaystyle \mathbf {D} _{xyz}^{3}}$

для первой плоскости = ${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}}$ ; для второй ${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1&0\\1&-6&1\\0&1&0\end{bmatrix}}}$ ; для третьей ${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}}$

Эти ядра выводятся с помощью дискретных частных производных.

Есть разные определения дискретного лапласиана, различающиеся знаком и масштабным коэффициентом (иногда средние на соседних вершинах, иногда просто сумма; это не имеет значения для регулярного графа).

Пусть G=(V,E) будет графом с вершинами V и рёбрами E. Зададим функцию значений ${\displaystyle \phi \colon V\to R}$ из вершин графа в кольцо ${\displaystyle R}$. Тогда дискретный лапласиан ${\displaystyle \Delta }$ от ${\displaystyle \phi }$ будет определяться как

${\displaystyle (\Delta \phi )(v)=\sum _{w:d(w,v)=1}\left[\phi (w)-\phi (v)\right]}$

где d(w,v) есть функция расстояния между вершинами графа. Эта сумма — на ближайших соседях вершины v. Вершины конечного графа можно пронумеровать, тогда отображение ${\displaystyle \phi }$ может быть записано как вектор-столбец, элементами которого являются значения отображения: ${\displaystyle \phi _{v}=\phi (v)}$. Данное выше определение лапласиана также может быть переписано в векторной форме с использованием матрицы Лапласа ${\displaystyle L}$:

${\displaystyle (\Delta \phi )(v)=(L\cdot \phi )_{v}}$

Если рёбра графа имеют веса, то есть задана весовая функция ${\displaystyle \gamma \colon E\to R}$, то определение можно записать как

${\displaystyle (\Delta _{\gamma }\phi )(v)=\sum _{w:d(w,v)=1}\gamma _{wv}\left[\phi (w)-\phi (v)\right]}$

где ${\displaystyle \gamma _{wv}}$ есть вес ребра ${\displaystyle wv\in E}$.

Близко лежит определение усредняющего оператора:

${\displaystyle (M\phi )(v)={\frac {1}{\deg v}}\sum _{w:d(w,v)=1}\phi (w)}$

Спектр дискретного лапласиана представляет ключевой интерес; когда он имеет самосопряжённый спектр, он действителен. Если ${\displaystyle \Delta =I-M}$, то спектр лежит в отрезке ${\displaystyle [0,2]}$ (в то время как у усредняющего оператора его спектральные значения в ${\displaystyle [-1,1]}$) и содержит ноль (для постоянных функций). Наименьшее ненулевое собственное число ${\displaystyle \lambda _{1}}$ называют спектральной щелью. Обычно различают и понятие о спектральном радиусе, определяемом обычно как наибольшее собственное число.

Собственные вектора не зависят от условностей (для регулярных графов), и они схожи с собственными векторами усредняющего оператора (различаясь добавлением), хотя собственные значения могут различаться в зависимости от соглашения.

Если граф представляет собой бесконечную квадратную решётку, то его определение лапласиана можно связать с непрерывным лапласианом через предел бесконечной решётки. К пример, в одномерном случае мы имеем

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}F}{\partial x^{2}}}=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}{\frac {[F(x+\epsilon )-F(x)]+[F(x-\epsilon )-F(x)]}{\epsilon ^{2}}}.}$

Это определение лапласиана часто используется в вычислительной математике и обработке изображений. В последнем случае оно рассматривается как разновидность цифрового фильтра, как граничный фильтр, называемый фильтром Лапласа.

Пусть ${\displaystyle P:V\rightarrow R}$ есть потенциал, заданный на графе. Заметим, что P можно рассматривать и как мультипликативный оператор, действующий диагонально на ${\displaystyle \phi }$:

${\displaystyle (P\phi )(v)=P(v)\phi (v).}$

Тогда ${\displaystyle H=\Delta +P}$ есть дискретный оператор Шрёдингера, аналог непрерывного оператора Шрёдингера.

Если количество рёбер вершины равномерно ограничено, то H — ограниченный и самосопряжённый.

Спектральные свойства его гамильтониана могут быть получены из теоремы Стоуна; это следствие из двойственности между частично упорядоченными множествами и булевой алгеброй.

На регулярных решётках оператор обычно имеет и бегущую волну, и решения локализации Андерсона — в зависимости от периодичности или случайности потенциала.

Функция Грина дискретного оператора Шрёдингера задана резольвентой линейного оператора:

${\displaystyle G(v,w;\lambda )=\langle \delta _{v}|{\frac {1}{H-\lambda }}|\delta _{w}\rangle }$

где ${\displaystyle \delta _{w}}$ понимается как символ Кронекера на графе: ${\displaystyle \delta _{w}(v)=\delta _{wv}}$, то есть это равно 1, если v=w, и 0 иначе.

Для фиксированного ${\displaystyle w\in V}$ и комплексного ${\displaystyle \lambda }$, функция Грина рассматривается как функция от v, уникальное решение уравнения

${\displaystyle (H-\lambda )G(v,w;\lambda )=\delta _{w}(v).}$

• Матрица Лапласа

• Определение и приложение спектральной щели