Дифференциальное включение (математика)

Дифференциальное включение — обобщение понятия дифференциального уравнения:

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}\in F(t,x),\qquad (*)}$

где правая часть (*) есть многозначное отображение, ставящее в соответствие каждой паре переменных ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ и ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ непустое компактное множество ${\displaystyle F(t,x)}$ в пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ Решением дифференциального включения (*) обычно называют абсолютно непрерывную функцию ${\displaystyle x(t),}$ которая удовлетворяет данному включению при почти всех значениях ${\displaystyle t.}$ Такое определение решения связано, прежде всего, с приложениями дифференциальных включений в теории управления.

Зарождение теории дифференциальных включений связывают обычно с именами французского математика Маршо (Marchaud) и польского математика Станислава Заремба (работы середины 1930-х годов), однако широкий интерес к ним возник только после открытия принципа максимума Понтрягина и связанным с ним интенсивным развитием теории оптимального управления. Дифференциальные включения используются также как инструмент исследования дифференциальных уравнений с разрывной правой частью (А. Ф. Филиппов) и в теории дифференциальных игр (Н. Н. Красовский).

Рассмотрим управляемую систему

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=f(t,x,u),\quad u(t)\in U,\qquad (**)}$

где ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{m}}$ есть некоторое компактное подмножество. Систему (**) можно записать в виде дифференциального включения (*), положив ${\displaystyle F(t,x)=f(t,x,U)=\{f(t,x,u)\ :\ \forall u\in U\}}$. При довольно общих предположениях управляемая система (**) эквивалентна дифференциальному включению (*), т.е. для любого решения ${\displaystyle x(t)}$ включения (*) существует такое допустимое управление ${\displaystyle u(t)\in U,}$ что функция ${\displaystyle x(t)}$ будет являться траекторией системы (**) с этим управлением. Это утверждение называется леммой А.Ф. Филиппова.

Контингенция (контингентная производная) и паратингенция — обобщения понятия производной, введённые в 1930-х годах.

Контингенцией вектор-функции ${\displaystyle x(t)}$ в точке ${\displaystyle t_{0}}$ называется множество ${\displaystyle {\textrm {Cont}}\ x(t_{0})}$ всех предельных точек последовательностей

${\displaystyle {\frac {x(t_{i})-x(t_{0})}{t_{i}-t_{0}}},\quad t_{i}\to t_{0},\quad i=1,2,\ldots }$

Паратингенцией вектор-функции ${\displaystyle x(t)}$ в точке ${\displaystyle t_{0}}$ называется множество ${\displaystyle {\textrm {Parat}}\ x(t_{0})}$ всех предельных точек последовательностей

${\displaystyle {\frac {x(t_{i})-x(t_{j})}{t_{i}-t_{j}}},\quad t_{i}\to t_{0},\quad t_{j}\to t_{0},\quad i,j=1,2,\ldots }$

Контингенция и паратингенция представляют собой примеры многозначных отображений. Например, для функции ${\displaystyle x(t)=|t|}$ в точке ${\displaystyle t_{0}=0}$ множество ${\displaystyle {\textrm {Cont}}\ x(0)}$ состоит из двух точек: ${\displaystyle \pm 1,}$ а множество ${\displaystyle {\textrm {Parat}}\ x(0)}$ является отрезком ${\displaystyle [-1,+1].}$

Вообще, всегда ${\displaystyle {\textrm {Cont}}\subset {\textrm {Parat}}}$. Если существует обычная производная ${\displaystyle x'(t_{0}),}$ то ${\displaystyle {\textrm {Cont}}\ x(t_{0})=x'(t_{0}),}$ а если обычная производная ${\displaystyle x'(t)}$ существует в некоторой окрестности точки ${\displaystyle t_{0}}$ и непрерывна в самой этой точке, то ${\displaystyle {\textrm {Cont}}\ x(t_{0})={\textrm {Parat}}\ x(t_{0})=x'(t_{0})}$.

• Борисович Ю. Г., Гельман Б. Д., Мышкис А. Д., Обуховский В. В. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений, — Любое издание.
• Благодатских В. И. Введение в оптимальное управление, — Высшая школа, Москва, 2001.
• Благодатских В. И., Филиппов А. Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управление, — Тр. МИАН, т.169 (1985).
• Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач, — Физматлит, Москва, 1974.
• А. Ф. Филиппов. О некоторых вопросах оптимального регулирования. — Вестник МГУ, Матем. и мех., N2 (1959).
• А. Ф. Филиппов. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. — М.: Наука, 1985.
• A. Cellina. A VIEW ON DIFFERENTIAL INCLUSIONS, — Rend. Sem. Mat. Univ. Pol. Torino - Vol. 63, 3 (2005).