Задача о движении твёрдого тела вокруг неподвижной точки

Необходимо перенести содержимое этой статьи в статью Сферическое движение и заменить эту статью на перенаправление. Вы можете помочь проекту, объединив статьи. В случае необходимости обсуждения целесообразности объединения, замените этот шаблон на шаблон {{К объединению}} и добавьте соответствующую запись на странице Википедия:К объединению. Пожалуйста, также проверьте историю правок. (13 июня 2023)

Задача о движении твёрдого тела вокруг неподвижной точки — одна из основных задач механики твёрдого тела^[1].

Рассмотрим вращение твёрдого тела ${\displaystyle {\cal {B}}}$ вокруг неподвижной точки ${\displaystyle O}$. Пусть ${\displaystyle OX_{\alpha }X_{\beta }X_{\gamma }}$ — абсолютная система отсчёта, оснащённая единичными векторами базиса ${\displaystyle {\bf {e}}_{\alpha }}$, ${\displaystyle {\bf {e}}_{\beta }}$,${\displaystyle {\bf {e}}_{\gamma }}$, а ${\displaystyle Ox_{1}x_{2}x_{3}}$ — подвижная система отсчёта, жёстко связанная с телом. Будем считать, что проекции векторов базиса ${\displaystyle {\bf {e}}_{\alpha }}$, ${\displaystyle {\bf {e}}_{\beta }}$, ${\displaystyle {\bf {e}}_{\gamma }}$ на оси подвижной системы отсчёта имеют вид ${\displaystyle {\bf {\alpha }}=(\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3})}$, ${\displaystyle {\bf {\beta }}=(\beta _{1},\beta _{2},\beta _{3})}$, ${\displaystyle {\bf {\gamma }}=(\gamma _{1},\gamma _{2},\gamma _{3})}$, а вектор угловой скорости в проекциях на подвижные оси записывается как ${\displaystyle {\bf {\omega }}=(\omega _{1},\omega _{2},\omega _{3})}$. Если ${\displaystyle {\bf {I}}}$ — тензор инерции тела, также заданный в подвижных осях, ${\displaystyle {\bf {Q}}={\bf {Q}}(t,{\bf {\omega }},{\bf {\alpha }},{\bf {\beta }},{\bf {\gamma }})}$ — действующий на тело момент сил, то уравнения движения тела в этих осях имеют вид

${\displaystyle {d \over {dt}}{\bf {I\omega }}={\bf {I\omega }}\times \omega +{\bf {Q}}}$.

Эти уравнения, задающие закон изменения момента количеств движения. называют уравнениями Эйлера. Кроме того, для описания движения выписывают уравнения Пуассона

${\displaystyle {d \over {dt}}{\bf {\alpha }}={\bf {\alpha }}\times \omega }$, ${\displaystyle {d \over {dt}}{\bf {\beta }}={\bf {\beta }}\times \omega }$, ${\displaystyle {d \over {dt}}{\bf {\gamma }}={\bf {\gamma }}\times \omega }$,

описывающие изменение в подвижных осях единичных векторов неподвижной системы отсчёта.

Уравнения Эйлера и уравнения Пуассона составляют замкнутую систему уравнений движения^[2].

В случае, когда внешние силы, действующие на тело, потенциальны с потенциалом ${\displaystyle U=U(t,{\bf {\alpha }},{\bf {\beta }},{\bf {\gamma }})}$, момент сил, действующих на тело, имеет вид^[3]

${\displaystyle {\bf {Q}}(t,{\bf {\alpha }},{\bf {\beta }},{\bf {\gamma }})={\bf {\alpha }}\times {{\partial U} \over {\partial {\bf {\alpha }}}}+{\bf {\beta }}\times {{\partial U} \over {\partial {\bf {\beta }}}}+{\bf {\gamma }}\times {{\partial U} \over {\partial {\bf {\gamma }}}}}$.

Пусть ${\displaystyle {\bf {e}}}$ — фиксированный в абсолютном пространстве единичный вектор. Если силы, приложенные к телу таковы, что

${\displaystyle ({\bf {Q}},{\bf {e}})\equiv 0}$,

то сохраняется величина

${\displaystyle {\cal {J}}_{\bf {e}}=({\bf {I\omega }},{\bf {e}})=p_{\bf {e}}\equiv 0}$,

представляющая собой проекцию вектора момента количеств движения на направление, задаваемое вектором ${\displaystyle {\bf {e}}}$. Эту величину называют интегралом площадей.

Уравнения Пуассона всегда допускают шесть квадратичных интегралов

${\displaystyle ({\bf {\alpha }},{\bf {\alpha }})=({\bf {\beta }},{\bf {\beta }})=({\bf {\gamma }},{\bf {\gamma }})=1}$,

${\displaystyle ({\bf {\alpha }},{\bf {\beta }})=({\bf {\beta }},{\bf {\gamma }})=({\bf {\gamma }},{\bf {\alpha }})=0}$,

выражающих ортонормированность базиса абсолютной системы отсчёта. Эти интегралы называют геометрическими^[4].

Также в случае, когда силы, действующие на тело, потенциальны, и потенциал не зависит явно от времени: ${\displaystyle U=U({\bf {\alpha }},{\bf {\beta }},{\bf {\gamma }})}$, уравнения движения допускают интеграл энергии

${\displaystyle {\cal {J}}_{0}={1 \over 2}({\bf {I\omega }},{\bf {\omega }})+U({\bf {\alpha }},{\bf {\beta }},{\bf {\gamma }})=h}$

Если ${\displaystyle {Q}\equiv 0}$, то уравнения Эйлера отделяются от уравнений Пуассона и оказываются вполне интегрируемыми: они обладают интегралом энергии

${\displaystyle {\cal {J}}_{0}={1 \over 2}({\bf {I\omega }},{\bf {\omega }})=h}$

и интегралом

${\displaystyle {\cal {J}}_{1}={1 \over 2}({\bf {I\omega }},{\bf {I\omega }})=k^{2}}$

выражающим сохранение величины вектора момента количеств движения.

Впрочем, в этом случае интегрируемости, известном как случай Эйлера, сохраняется не только величина вектора момента количеств движения — сам вектор остаётся неизменным относительно абсолютной системы отсчёта^[5].

• А. В. Борисов, И. С. Мамаев Динамика твердого тела. Москва — Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2001. — 378 с.