Закон Бернулли

Элементарный вывод уравнения Бернулли из закона сохранения энергии приведён, например, в учебнике Д. В. Сивухина^[13]. Рассматривается стационарное движение жидкости вдоль линии тока, изображённое на рисунке. Слева на объем жидкости, первоначально заключённый между двумя сечениями ${\displaystyle A_{1}}$ и ${\displaystyle A_{2}}$, действует сила ${\displaystyle F_{1}=p_{1}A_{1}}$, а справа — противоположного направления сила ${\displaystyle F_{2}=-p_{2}A_{2}}$. Скорость ${\displaystyle v}$ и давление ${\displaystyle p}$ в сечениях 1 и 2, а также их площади обозначены нижними индексами 1 и 2. За бесконечно малое время ${\displaystyle \Delta t}$ левая граница этого объёма жидкости сместилась на малое расстояние ${\displaystyle s_{1}=v_{1}\Delta t}$, а правая — на расстояние ${\displaystyle s_{2}=v_{2}\Delta t}$. Работа, совершённая силами давления, равна:

${\displaystyle W=F_{1}s_{1}+F_{2}s_{2}=\Delta t\left(v_{1}A_{1}p_{1}-v_{2}A_{2}p_{2}\right).}$

В начале интервала времени ${\displaystyle \Delta t}$ объем жидкости, заключённый между двумя поверхностями ${\displaystyle A_{1}}$ и ${\displaystyle A_{2}}$, состоит из левого голубого элемента и средней синей части, в конце этого интервала сместившийся объём состоит из средней синей части и правого голубого элемента. Так как течение стационарное, вклад синего фрагмента в энергию и массу обсуждаемого объёма жидкости не меняется, а сохранение массы позволяет заключить, что масса левого голубого элемента равна массе правого голубого элемента: ${\displaystyle \Delta m=\Delta tv_{1}A_{1}\rho _{1}=\Delta tv_{2}A_{2}\rho _{2}.}$ Поэтому работа сил, выражение для которой можно преобразовать к виду: ${\displaystyle \Delta W=\Delta m\left({\frac {p_{1}}{\rho _{1}}}-{\frac {p_{2}}{\rho _{2}}}\right),}$ равна изменению энергии, равному, в свою очередь, разности энергий правого голубого элемента ${\displaystyle \Delta E_{2}}$ и левого голубого элемента ${\displaystyle \Delta E_{1}}$.

Для несжимаемой жидкости можно, во-первых, в выражении для работы положить ${\displaystyle \rho _{1}=\rho _{2}=\rho }$ и, во-вторых, в выражении для энергии элемента жидкости ограничиться кинетической и потенциальной энергией: ${\displaystyle \Delta E_{1}=\Delta m\left({\frac {v_{1}^{2}}{2}}+gh_{1}\right),}$ ${\displaystyle \Delta E_{2}=\Delta m\left({\frac {v_{2}^{2}}{2}}+gh_{2}\right).}$ После этого равенство ${\displaystyle \Delta W=\Delta E_{2}-\Delta E_{1}}$ даёт: ${\displaystyle p_{1}+\rho gh_{1}+{\frac {\rho v_{1}^{2}}{2}}=p_{2}+\rho gh_{2}+{\frac {\rho v_{2}^{2}}{2}}}$, или ${\displaystyle p+\rho gh+{\frac {\rho v^{2}}{2}}={\rm {const}}}$.

Уравнение Громеки — Лэмба^[23][24] (квадратные скобки обозначают векторное произведение) имеет вид:

${\displaystyle {\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+\operatorname {grad} \left({\frac {v^{2}}{2}}\right)+\left[\mathrm {rot} \,{\vec {v}},{\vec {v}}\right]=-{\frac {1}{\rho }}\operatorname {grad} p+{\vec {F}}}$

В силу сделанных предположений ${\displaystyle {\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}=0,}$ ${\displaystyle {\frac {\operatorname {grad} p}{\rho }}=\operatorname {grad} {\cal {P}}}$ и ${\displaystyle {\vec {F}}=-\operatorname {grad} \varphi }$ (в частном случае однородной силы тяжести её потенциал равен ${\displaystyle \varphi =g\,h}$), так что уравнение Громеки — Лэмба принимает вид:

${\displaystyle \operatorname {grad} \left({\frac {v^{2}}{2}}+\varphi +{\cal {P}}\right)+\left[\mathrm {rot} \,{\vec {v}},{\vec {v}}\right]=0}$

Скалярное произведение этого уравнения на единичный вектор ${\displaystyle {\vec {l}}={\frac {\vec {v}}{v}},}$ касательный к линии тока, даёт:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial l}}\left({\frac {v^{2}}{2}}+\varphi +{\cal {P}}\right)=0}$

так как произведение градиента на единичный вектор даёт производную по направлению ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial l}}}$, а векторное произведение перпендикулярно направлению скорости. Следовательно, вдоль линии тока ${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}+\varphi +{\cal {P}}=\mathrm {const} .}$ Такое соотношение справедливо и для вихревой линии, касательный вектор к которой в каждой точке направлен по ${\displaystyle \mathrm {rot} \,{\vec {v}}.}$

1. Уравнение Эйлера для стационарного (${\displaystyle \partial {\vec {v}}/\partial t=0}$) движения идеальной жидкости в поле силы тяжести^[29] имеет вид

${\displaystyle ({\vec {v}}\cdot \nabla ){\vec {v}}=-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+{\vec {g}},}$

где ускорение силы тяжести можно выразить через гравитационный потенциал ${\displaystyle {\vec {g}}=-\nabla \varphi }$ (для однородного поля ${\displaystyle \varphi =gh}$), точка между векторами в круглых скобках означает их скалярное произведение.

2. Скалярное произведение этого уравнения на единичный вектор ${\displaystyle {\vec {l}}={\frac {\vec {v}}{v}},}$ касательный к линии тока даёт

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial l}}\left({\frac {v^{2}}{2}}+\varphi \right)=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial l}},}$

так как произведение градиента на единичный вектор даёт производную по направлению ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial l}}.}$

3. Термодинамическое дифференциальное соотношение

${\displaystyle \mathrm {d} w={\frac {1}{\rho }}\mathrm {d} p+T\mathrm {d} s,}$

где ${\displaystyle w}$ — энтальпии единицы массы, ${\displaystyle T}$ — температура и ${\displaystyle s}$ — энтропия единицы массы, даёт

${\displaystyle {\frac {\partial w}{\partial l}}={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial l}}+T{\frac {\partial s}{\partial l}},\quad }$ так что ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial l}}\left({\frac {v^{2}}{2}}+w+\varphi \right)=T{\frac {\partial s}{\partial l}}.}$

В стационарном течении идеальной жидкости все частицы, движущиеся вдоль данной линии тока, имеют одинаковую энтропию^[30] (${\displaystyle \partial s/\partial l=0}$), поэтому вдоль линии тока:

${\displaystyle s={\text{const}},\quad {\frac {v^{2}}{2}}+w+\varphi ={\text{const}}.}$