Изогения

Изогения — это морфизм алгебраических групп, являющийся сюръективным и имеющий конечное ядро.

Если группами служат абелевы многообразия, то любой морфизм ${\displaystyle f:A\rightarrow B}$ лежащего в основе алгебраического многообразия, являющегося сюръективным с конечными слоями, автоматически является изогенией, обеспечивая ${\displaystyle f(1_{A})=1_{B}}$. Такая изогения f даёт гомоморфизм групп между группами k-значных точек^[1] многообразий A и B для любого поля k, над которым f определено.

Термины «изогения» и «изогенный» происходят от греческого слова ισογενη-ς, означающего «равный в некотором смысле». Термин «изогения» ввёл Андре Вейль, до этого вместо термина «изогения» использовался запутывающий термин «изоморфизм».

Для абелевых многообразий, таких как эллиптические кривые, это понятие можно сформулировать следующим образом:

Пусть E₁ и E₂ — абелевы многообразия одинаковой размерности над полем k. Изогения между E₁ и E₂ — это плотный морфизм ${\displaystyle f:E_{1}\to E_{2}}$ многообразий, сохраняющий базовые точки (то есть f отображает единицу на E₁ и единицу на E₂)^[2].

Это эквивалентно вышеприведённому понятию, поскольку любой плотный морфизм^[3] между двумя абелевыми многообразиями одной и той же размерности является автоматически сюръективным и имеет конечные слои, а если он сохраняет единицы, то он является гомоморфизмом групп.

Два абелевых многообразия E₁ и E₂ называются изогенными, если существует изогения ${\displaystyle E_{1}\to E_{2}}$. Это соотношение эквивалентности, симметричное ввиду существования двойственной изогении^[англ.]. Как и выше, любая изогения индуцирует гомоморфизм групп k-значных точек абелевых многообразий.

У этой статьи есть несколько проблем, помогите их исправить: Необходимо проверить качество перевода c неуказанного языка, исправить содержательные и стилистические ошибки. Вы можете помочь улучшить эту статью (см. также рекомендации по переводу). Оригинал не указан. Пожалуйста, укажите его. (3 февраля 2018) Стиль этой статьи неэнциклопедичен или нарушает нормы литературного русского языка. Статью следует исправить согласно стилистическим правилам Википедии. (3 февраля 2018) Пожалуйста, после исправления проблемы исключите её из списка параметров. После устранения всех недостатков этот шаблон может быть удалён любым участником.