Инвариантная производная по времени

Инвариантная производная по времени — это производная по времени инерциальной системы. В самой инерциальной системе инвариантная производная по времени есть просто обычная производная по времени: ${\frac {\partial }{\partial t}}$ . В неинерциальной системе инвариантная производная по времени состоит из суммы обычной производной по времени ${\frac {\partial }{\partial t}}$ и дополнительных слагаемых, связанных со скоростью $V^{i}$ движения неинерциальной системы относительно инерциальной. Поле скоростей может быть неоднородным $V^{i}(x)$ и в общем случае зависеть от времени $V^{i}(x,t)$ . Так, например, в неинерциальной системе, связанной с неравномерно вращающимся колесом, поле скоростей неоднородно в пространстве и во времени. Поскольку поле скоростей $V^{i}(x,t)$ есть относительная скорость движения координатных систем, которые не являются материальными объектами, то эта скорость по величине может превышать скорость света и даже быть бесконечной. Никакого противоречия со специальной теорией относительности (СТО) при этом, конечно же, не возникает. Например, поле скоростей неинерциальной системы, связанной с вращающимся колесом, на достаточно большом расстоянии от центра вращения по величине превышает скорость света и стремится к бесконечности при дальнейшем удалении от центра.

Обозначим посредством ${\bar {x}}$ координаты в инерциальной системе, а $x({\bar {x}},t)$ — координаты в неинерциальной. Тогда скорость движения неинерциальной системы относительно инерциальной есть

$V^{i}(x,t)={\frac {\partial x^{i}({\bar {x}},t)}{\partial t}}$

Инвариантная производная по времени от скаляра $F(x,t)$ в неинерциальной системе есть:

$D_{t}F(x,t)={\frac {\partial F}{\partial t}}+{\frac {\partial F}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial x^{i}}{\partial t}}={\frac {\partial F}{\partial t}}+V^{i}(x,t){\frac {\partial F}{\partial x^{i}}}$ .

Инвариантная производная по времени от тензоров имеет дополнительные слагаемые, связанные с преобразованием их компонент при переходе из одной системы координат в другую ${\bar {x}}\to x({\bar {x}},t)$ . Так, например, для векторов и ковекторов имеем:

$A^{i}={\frac {\partial x^{i}}{\partial {\bar {x}}^{j}}}{\bar {A}}^{j}$ ;

$A_{i}={\frac {\partial {\bar {x}}^{j}}{\partial x^{i}}}{\bar {A}}_{j}$ .

Следовательно,

$D_{t}A^{i}={\frac {\partial A^{i}}{\partial t}}+V^{j}{\frac {\partial A^{i}}{\partial x^{j}}}-A^{j}{\frac {\partial V^{i}}{\partial x^{j}}}$ ;

$D_{t}A_{i}={\frac {\partial A_{i}}{\partial t}}+V^{j}{\frac {\partial A_{i}}{\partial x^{j}}}+A_{j}{\frac {\partial V^{j}}{\partial x^{i}}}$ .

Аналогично вычисляются инвариантные производные по времени от тензоров высших рангов.

Важным свойством инвариантной производной по времени является то, что все производные по пространственным координатам ${\frac {\partial }{\partial x^{i}}}$ в правых частях приведённых выше выражений можно заменить на ковариантные производные, согласованные с метрикой пространства $dl^{2}=\gamma _{ij}dx^{i}dx^{j}$ , то есть

$D_{t}A^{i}=\partial _{t}A^{i}+V^{j}A_{;j}^{i}-A^{j}V_{;j}^{i}$ ,

$D_{t}A_{i}=\partial _{t}A_{i}+V^{j}A_{i;j}+A_{j}V_{;i}^{j}$ ,

при этом слагаемые со связностями Кристоффеля взаимно сокращаются.

Рассмотренные выше «добавки» к обычным производным по времени являются Ли — вариациями (или, иначе, производными Ли) тензорных полей вдоль векторного поля $V^{i}$ , которые были изучены выдающимся норвежским математиком Софусом Ли (1842—1899).

Всем известные центробежное и кориолисово ускорения, появляющиеся во вращающейся неинерциальной системе, — дополнительные слагаемые в инвариантной производной по времени от вектора скорости движущейся материальной точки.