Итерационная формула Герона

В статье не хватает ссылок на источники (см. рекомендации по поиску). Информация должна быть проверяема, иначе она может быть удалена. Вы можете отредактировать статью, добавив ссылки на авторитетные источники в виде сносок. (13 мая 2011)

Итерацио́нная фо́рмула Геро́на имеет вид

${\displaystyle x_{n+1}={\frac {1}{2}}~\left(x_{n}+{\frac {a}{x_{n}}}\right)\ }$,

где a — фиксированное положительное число, а ${\displaystyle x_{1}}$ — любое положительное число.

Итерационная формула задаёт убывающую (начиная со 2-го элемента) последовательность, которая при любом выборе ${\displaystyle x_{1}}$ быстро сходится к величине ${\displaystyle {\sqrt {a}}}$ (квадратный корень из числа), то есть

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}={\sqrt {a}}}$

Эту формулу можно получить, применяя метод Ньютона к решению уравнения ${\displaystyle a-x^{2}=0}$.

Попробуем вычислить квадратный корень для 25, используя округления при вычислениях. Пусть нашим первым предположением для значения ${\displaystyle {\sqrt {25}}}$ будет значение 3.

n	${\displaystyle x_{n}}$	${\displaystyle x_{n+1}={\frac {1}{2}}~\left(x_{n}+{\frac {a}{x_{n}}}\right)\ }$	Приблизительное значение ${\displaystyle x_{n+1}}$
1	3	${\displaystyle {\frac {1}{2}}~\left(3+{\frac {25}{3}}\right)\ }$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}~(3+8.33)={\frac {1}{2}}\cdot 11.33\approx 5.67}$
2	5.67	${\displaystyle {\frac {1}{2}}~\left(5.67+{\frac {25}{5.67}}\right)\ }$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}~(5.67+4.41)={\frac {1}{2}}\cdot 10.08=5.04}$
3	5.04	${\displaystyle {\frac {1}{2}}~\left(5.04+{\frac {25}{5.04}}\right)\ }$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}~(5.04+4.96)={\frac {1}{2}}\cdot 10=5}$
4	5	${\displaystyle {\frac {1}{2}}~\left(5+{\frac {25}{5}}\right)\ }$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}~(5+5)={\frac {1}{2}}\cdot 10=5}$

Эта формула имеет простую геометрическую интерпретацию. Рассмотрим прямоугольник с площадью а и стороной x₁. Будем производить его итерационное квадрирование. А именно — одну сторону нового прямоугольника сделаем равной среднему арифметическому обеих сторон предыдущего шага. А вторую сторону возьмём такой, чтобы площадь нового прямоугольника снова была равна а. На следующих шагах будем повторять этот же процесс.

• Ancient Square Roots
• Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures

В статье есть список источников, но не хватает сносок. Без сносок сложно определить, из какого источника взято каждое отдельное утверждение. Вы можете улучшить статью, проставив сноски на источники, подтверждающие информацию. Сведения без сносок могут быть удалены. (1 сентября 2013)