Родился 6 ноября 1940 года в городе Куйбышев[3]. Отец переехал в город из села Кинель-Черкассы и окончил плановый институт, мать из Вышнего Волочка. Семья жила в двух кварталах от стадиона «Динамо»[3]. Тренироваться на стадион его позвал тренер Михаил Андреевич Сенин. В 1958 году Б. А. Казаков стал игроком команды КФК «Локомотив» (Куйбышев), где тренерами были Александр Скорохов и Чистяков[3].
7 июля 1960 года Борис Казаков дебютировал за «Крылья» на стадионе в Баку. В своём седьмом матче за команду отметился дебютным голом в поединке против «Кайрата». После игры против «Авангарда», Казаков стал основным защитником команды, заменив на этой позиции опытного Виктора Марьенко[3].
За сборную СССР сыграл в 6 матчах, забил 1 гол. За олимпийскую сборную СССР сыграл 3 матча, забил 3 гола.
В 1978 году погиб, утонув во время зимней рыбалки в реке Чапаевка.
Память
В 1980—1990–х годах в Самаре проводились турниры в память о футболисте[4].
В 2013 году в Самаре на доме, в котором жил нападающий «Крыльев Советов» Б. А. Казаков, по адресу переулок Высоцкого, дом 3а, открыли мемориальную доску[5].