Клетка (теория графов)

n-клетка — кубический граф обхвата n с наименьшим возможным числом вершин. Граф называется кубическим, если из каждой его вершины выходят 3 ребра. Обхват графа — это длина наименьшего цикла в нём.

Для каждого 2 < n < 9 существует единственная n-клетка, причем все эти графы обладают высокой симметрией (являются унитранзитивными). Кроме того, при изображении на плоскости они часто дают экстремальное количество самопересечений, далее индекс самопересечения^[англ.].

3-клетка — К₄, остов тетраэдра, 4 вершины.
4-клетка — К_3,3, один из двух минимальных не планарных графов, 6 вершин.
5-клетка — Граф Петерсена, 10 вершин. Минимальный кубический граф с индексом самопересечения 2.
6-клетка — Граф Хивуда, 14 вершин. Разбивается на 1-факторы (то есть, реберно раскрашиваем), любая сумма двух факторов образует гамильтонов цикл. Минимальный кубический граф с индексом самопересечения 3.
7-клетка — Граф МакГи, 24 вершины. Минимальный кубический граф с индексом самопересечения 8.
8-клетка — Граф Татта — Коксетера, 30 вершин.

Обобщённое определение

(r,n)-клетка — регулярный граф степени r (то есть из каждой вершины которого выходит ровно r рёбер) и обхвата n с наименьшим возможным числом вершин.

Тривиальные семейства

(2,n)-клетками являются, очевидно, циклические графы C_n
(r-1,3)-клетки — полные графы К_r из r вершин
(r,4)-клетки — полные двудольные графы К_r,r, у которых в каждой доле находится по r вершин

Нетривиальные представители

(7,5)-клетка — Граф Хоффмана — Синглтона, 50 вершин.

Известны ещё некоторые клетки. В таблице ниже показано количество вершин в (r,n)-клетках степени 3≤r≤7 и обхвата 3≤n≤12. Клетки для этих и бо́льших r и n описаны здесь: [1] (на английском языке).

r = 3:	4	6	10	14	24	30	58	70	112	126
n:	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
r = 4:	5	8	19	26	67	80	275	384		728
r = 5:	6	10	30	42	152	170				2730
r = 6:	7	12	40	62	294	312				7812
r = 7:	8	14	50	90

Графы Мура

Количество вершин в (r,n)-клетке больше или равно

1+r\sum _{i=0}^{(n-3)/2}(r-1)^{i}

для нечётных n и

2\sum _{i=0}^{(n-2)/2}(r-1)^{i}

для чётных.

Если имеет место равенство, то соответствующий граф называется графом Мура. В то время как клетка существует для всяких r > 2 и n > 2, нетривиальных графов Мура гораздо меньше. Из вышеупомянутых клеток, графами Мура являются Граф Петерсена, граф Хивуда, граф Татта — Коксетера и граф Хоффмана — Синглтона. Доказано,^[1]^[2]^[3] что все нечётные случаи исчерпываются n = 5, r = 2, 3, 7 и, возможно, 57, а чётные n = 6, 8, 12.

Примечания

↑ Bannai, E. and Ito, T. «On Moore Graphs.» J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Ser. A 20, 191—208, 1973
↑ Damerell, R. M. «On Moore Graphs.» Proc. Cambridge Philos. Soc. 74, 227—236, 1973
↑ Hoffman, A. J. and Singleton, R. R. «On Moore Graphs of Diameter 2 and 3.» IBM J. Res. Develop. 4, 497—504, 1960