Алексей Колокольцев родился 3 декабря 1962 года в Анжеро-Судженске. Начал заниматься тяжёлой атлетикой в возрасте 14 лет у Виталия Елькина. В 1982 году переехал в Кемерово, где продолжил тренироваться под руководством Владимира Лепилина.
С середины 1980-х годов входил в число ведущих советских атлетов наилегчайшего веса. В 1985, 1986 и 1990 годах был серебряным призёром чемпионатов СССР. В 1986 году вошёл в состав сборной страны на чемпионате мира в Софии и выиграл бронзовую медаль в сумме и серебряную медаль в толчке. В 1987 году становился чемпионом и обладателем Кубка СССР.
В 1992 году завершил свою спортивную карьеру. В дальнейшем занялся предпринимательской деятельностью.
