Коммутатор (алгебра)

Коммутатором операторов ${\displaystyle {\hat {A}}}$ и ${\displaystyle {\hat {B}}}$ в алгебре, а также квантовой механике называется оператор ${\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}}$. В общем случае он не равен нулю. Понятие коммутатора распространяется также на произвольные ассоциативные алгебры (не обязательно операторные). В квантовой механике за коммутатором операторов также закрепилось название квантовая скобка Пуассона.

Если коммутатор двух операторов равен нулю, то они называются коммутирующими, иначе — некоммутирующими.

• Антикоммутативность: ${\displaystyle [A,B]=-[B,A].}$ Из этого тождества следует что ${\displaystyle [A,A]=0}$ для любого оператора ${\displaystyle A}$.

В ассоциативной алгебре верны также следующие тождества:

• ${\displaystyle [A,BC]=[A,B]C+B[A,C]}$. Это тождество представляет собой правило Лейбница для оператора ${\displaystyle D_{A}=[A,\cdot ].}$ По этой причине оператор ${\displaystyle D_{A}}$ называют внутренним дифференцированием в алгебре. Аналогичным свойством обладает оператор ${\displaystyle {\tilde {D}}_{A}=[\cdot ,A].}$
• Тождество Якоби: ${\displaystyle [A,[B,C]]+[B,[C,A]]+[C,[A,B]]=0.}$ Алгебра, удовлетворяющая тождеству Якоби, называется алгеброй Ли. Таким образом, из любой ассоциативной алгебры можно получить алгебру Ли, если определить умножение в новой алгебре как коммутатор элементов старой алгебры.
• ${\displaystyle [AB,C]+[BC,A]+[CA,B]=0.}$ Это тождество представляет собой другую запись тождества Якоби.
• ${\displaystyle [AB,C]=A[B,C]+[A,C]B}$
• ${\displaystyle [ABC,D]=AB[C,D]+A[B,D]C+[A,D]BC}$
• ${\displaystyle [AB,CD]=A[B,CD]+[A,CD]B=A[B,C]D+AC[B,D]+[A,C]DB+C[A,D]B}$
• ${\displaystyle [A,BCD]=[A,B]CD+B[A,C]D+BC[A,D]}$
• ${\displaystyle [A,BCDE]=[A,B]CDE+B[A,C]DE+BC[A,D]E+BCD[A,E]}$
• ${\displaystyle [ABCD,E]=ABC[D,E]+AB[C,E]D+A[B,E]CD+[A,E]BCD}$
• ${\displaystyle [[[A,B],C],D]+[[[B,C],D],A]+[[[C,D],A],B]+[[[D,A],B],C]=[[A,C],[B,D]]}$
• ${\displaystyle e^{A}Be^{-A}=B+[A,B]+{\frac {1}{2!}}[A,[A,B]]+{\frac {1}{3!}}[A,[A,[A,B]]]+\cdots \equiv e^{\operatorname {ad} (A)}B.}$ Эта формула справедлива в алгебрах, где может быть определена матричная экспонента, например, в Банаховой алгебре или в кольце формальных степенных рядов. Она также играет важнейшую роль в квантовой механике и квантовой теории поля при построении теории возмущений для операторов в представлении Гейзенберга и представлении взаимодействия.
• ${\displaystyle \ln \left(e^{A}e^{B}e^{-A}e^{-B}\right)=[A,B]+{\frac {1}{2!}}[(A+B),[A,B]]+{\frac {1}{3!}}\left([A,[B,[B,A]]]/2+[(A+B),[(A+B),[A,B]]]\right)+\cdots .}$

Как известно, физическое измерение в квантовой механике соответствует действию оператора ${\displaystyle {\hat {F}}}$ физической величины ${\displaystyle f}$ на вектор состояния системы. Так называемые чистые состояния, в которых физическая величина имеет строго определённое значение, соответствуют собственным векторам ${\displaystyle {\hat {F}}}$, при этом значение величины в данном состоянии — это собственное число вектора чистого состояния:

${\displaystyle {\hat {F}}\psi _{i}=f\psi _{i}}$

Если две квантовомеханические величины одновременно измеримы, то в чистых состояниях они обе будут иметь определённое значение, то есть множества собственных векторов операторов величин совпадают. Но тогда они будут коммутировать:

${\displaystyle {\hat {F}}{\hat {G}}\psi _{i}=g{\hat {F}}\psi _{i}=gf\psi _{i}={\hat {G}}{\hat {F}}\psi _{i}}$

Соответственно, некоммутирующие операторы соответствуют физическим величинам, не имеющим одновременно определённого значения. Типичный пример — операторы импульса (компоненты импульса) ${\displaystyle {\hat {p}}_{x}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}}$ и соответствующей координаты ${\displaystyle {\hat {x}}=x}$ (см. соотношение неопределённостей).

Собственные значения гамильтониана квантовой системы — это значения энергии в стационарных состояниях. Очевидным следствием вышеизложенного является то, что физическая величина, оператор которой коммутирует с гамильтонианом, может быть измерена одновременно с энергией системы. Однако, в квантовой механике энергия приобретает особую роль. Из уравнения Шрёдингера

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}={\hat {H}}\psi }$

и определения полной производной оператора по времени

${\displaystyle {\dot {\hat {f}}}={\hat {\dot {f}}}}$

можно получить выражение для полной производной по времени от физической величины, а именно:

${\displaystyle {\dot {\hat {f}}}={i \over \hbar }[{\hat {H}},{\hat {f}}]+{\frac {\partial {\hat {f}}}{\partial t}}}$

Следовательно, если оператор физической величины коммутирует с гамильтонианом, то эта величина не изменяется с течением времени. Это соотношение является квантовым аналогом тождества

${\displaystyle {\dot {f}}={\mathcal {\{}}H,f{\mathcal {\}}}+{\frac {\partial f}{\partial t}}}$

из классической механики, где {,} — скобка Пуассона функций. Аналогично классическому случаю, оно выражает наличие у системы определённых симметрий, порождающих интегралы движения. Именно свойство сохранения при определённых симметриях пространства кладётся в основу определения многих квантовых аналогов классических величин, например, импульс определяется как величина, сохраняющаяся при всех трансляциях системы, а момент импульса определяется как величина, сохраняющаяся при вращениях.

Укажем значения некоторых часто встречающихся коммутаторов.

${\displaystyle {\hat {r}}_{i},{\hat {p}}_{i},{\hat {L}}_{i}}$ — оператор i-ой компоненты, соответственно, радиус-вектора, импульса и момента импульса; ${\displaystyle \delta _{ij}}$ — дельта Кронекера; ${\displaystyle e_{ijk}}$ — абсолютно антисимметричный псевдотензор 3-го ранга.

${\displaystyle [{\hat {r}}_{i},{\hat {p}}_{j}]=i\hbar \delta _{ij}}$

${\displaystyle [{\hat {p}},f({\vec {r}})]=-i\hbar \nabla f}$

${\displaystyle [{\hat {L}}_{i},{\hat {r}}_{j}]=i\hbar e_{ijk}{\hat {r}}_{k}}$

${\displaystyle [{\hat {L}}_{i},{\hat {p}}_{j}]=i\hbar e_{ijk}{\hat {p}}_{k}}$

${\displaystyle [{\hat {L}}_{i},{\hat {L}}_{j}]=i\hbar e_{ijk}{\hat {L}}_{k}}$

${\displaystyle [{\hat {L}}^{2},{\hat {L}}_{i}]=0}$

Как правило, необходимы соотношения для нормированного момента: ${\displaystyle \ {\hat {L}}_{j}=\hbar {\hat {l}}_{j}}$

${\displaystyle [{\hat {l}}_{i},{\hat {r}}_{j}]=ie_{ijk}{\hat {r}}_{k}}$

${\displaystyle [{\hat {l}}_{i},{\hat {p}}_{j}]=ie_{ijk}{\hat {p}}_{k}}$

${\displaystyle [{\hat {l}}_{i},{\hat {l}}_{j}]=ie_{ijk}{\hat {l}}_{k}}$

${\displaystyle [{\hat {l}}^{2},{\hat {l}}_{i}]=0}$

Из этих соотношений видно, что момент импульса частицы не измерим одновременно с её координатами или импульсом. Более того, за исключением случая, когда момент равен нулю, различные его компоненты не измеримы одновременно. Этим момент импульса принципиально отличается от импульса и радиус-вектора, у которых все три компоненты могут быть одновременно определены. Для момента импульса можно измерить лишь его проекцию на некоторую ось (обычно ${\displaystyle z}$) и квадрат его длины.

Коммутатор является квантовым аналогом скобки Пуассона в классической механике. Операция коммутатора вводит на операторах (или элементах алгебры) структуру алгебры Ли, поэтому антикоммутативное умножение в алгебре Ли также называют коммутатором.

Некоммутирующими величинами ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ называются величины, коммутатор которых ${\displaystyle [A,B]=AB-BA\neq 0}$.

Две физические величины одновременно измеримы тогда и только тогда, когда их операторы коммутируют^[1].

Антикоммутатор — симметризующий оператор над элементами кольца, определяющий степень «антикоммутативности» умножения в кольце:

${\displaystyle [x,y]_{+}:=xy+yx}$

Через антикоммутатор вводится коммутативное «йорданово умножение». Алгебра Клиффорда всегда естественным образом связывает антикоммутатор с задающей её билинейной формой.

• Антикоммутатор пары различных мнимых единиц у кватернионов равен нулю.
• При помощи антикоммутатора определяются гамма-матрицы Дирака.

• Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. — 5-е изд. — М.: Наука, 1976. — 664 с.
• Боум А. Квантовая механика: основы и приложения. — М.: Мир, 1990. — 720c.
• Дирак П. Принципы квантовой механики. — 2-е изд. — М.: Наука, 1979. — 480 с.
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 4-е. — М.: Наука, 1989. — 768 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-02-014421-5.

• Теория операторов
• Поле Киллинга