Конвективная производная

Конвекти́вная произво́дная от векторной либо скалярной функции в точке ${\displaystyle {\vec {r}}}$ в момент времени t определяет изменение параметров данной функции в ${\displaystyle {\vec {r}}}$ в момент t при конвекции (движении среды с определенной скоростью ${\displaystyle {\vec {u}}({\vec {r}},t)}$). Является одним из слагаемых производной Лагранжа (субстанциональной производной) и может быть найдена путём действия оператора ${\displaystyle ({\vec {u}}\cdot \nabla )}$ на скалярную либо векторную функцию (тут ${\displaystyle \nabla }$ — оператор набла).

В общем случае материальная производная имеет вид:

${\displaystyle {\frac {{\mathcal {D}}\mathbf {A} }{{\mathcal {D}}t}}={\frac {D\mathbf {A} }{Dt}}-\left(\mathbf {A} \cdot \left(\nabla \otimes \mathbf {v} \right)\right)-\left(\left(\nabla \otimes \mathbf {v} \right)\cdot \mathbf {A} \right)+\alpha _{1}\left(\operatorname {Sym} \left(\nabla \otimes \mathbf {v} \right)\cdot \mathbf {A} \right)+\alpha _{2}\left(\mathbf {A} \cdot \operatorname {Sym} \left(\nabla \otimes \mathbf {v} \right)\right)+\alpha _{3}\cdot \mathbf {A} \cdot \operatorname {Tr} \left(\nabla \otimes \mathbf {v} \right)}$

или в индексной записи:

${\displaystyle {\frac {{\mathcal {D}}A_{ij}}{{\mathcal {D}}t}}={\frac {DA_{ij}}{Dt}}-A_{ik}\cdot v_{k,j}-v_{i,k}\cdot A_{kj}+\alpha _{1}\cdot v_{(i,k)}\cdot A_{kj}+\alpha _{2}\cdot A_{ik}\cdot v_{(k,j)}+\alpha _{3}\cdot {A}_{ij}\cdot v_{k,k}}$

где ${\displaystyle {\frac {DA_{ij}}{Dt}}={\frac {\partial A_{ij}}{\partial t}}+v_{k}\cdot {\frac {\partial A_{ij}}{\partial x_{k}}}}$ — обычная производная Лагранжа;

${\displaystyle \nabla \otimes \mathbf {v} }$ или ${\displaystyle v_{i,j}={\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}}$ — производные по координатам;

${\displaystyle \operatorname {Sym} \left(\nabla \otimes \mathbf {v} \right)={\frac {1}{2}}\left(\left(\nabla \otimes \mathbf {v} \right)+\left(\nabla \otimes \mathbf {v} \right)^{\mathrm {T} }\right)}$ или ${\displaystyle v_{(i,j)}={\frac {1}{2}}\left(v_{i,j}+v_{j,i}\right)}$ — симметрирование тензора;

${\displaystyle \operatorname {Alt} \left(\nabla \otimes \mathbf {v} \right)={\frac {1}{2}}\left(\left(\nabla \otimes \mathbf {v} \right)-\left(\nabla \otimes \mathbf {v} \right)^{\mathrm {T} }\right)}$ или ${\displaystyle v_{[i,j]}={\frac {1}{2}}\left(v_{i,j}-v_{j,i}\right)}$ — альтернирование тензора.

Виды:

• Верхняя конвективная производная^[англ.] (производная Олдройда) — ${\displaystyle \alpha _{1}=\alpha _{2}=\alpha _{3}=0}$

${\displaystyle {\stackrel {~\triangledown }{A}}_{ij}={\frac {DA_{ij}}{Dt}}-A_{ik}\cdot v_{k,j}-v_{i,k}\cdot A_{kj}}$

• Нижняя конвективная производная (производная Коттера — Ривлина) — ${\displaystyle \alpha _{1}=\alpha _{2}=4,\alpha _{3}=0}$

${\displaystyle {\stackrel {~\vartriangle }{A}}_{ij}={\frac {DA_{ij}}{Dt}}+A_{ik}\cdot v_{k,j}+v_{i,k}\cdot A_{kj}}$

• Правая конвективная производная — ${\displaystyle \alpha _{1}=\alpha _{2}=2,\alpha _{3}=0}$

${\displaystyle {\stackrel {~\triangleleft }{A}}_{ij}={\frac {DA_{ij}}{Dt}}-A_{ik}\cdot v_{k,j}+v_{i,k}\cdot A_{kj}}$

• Левая конвективная производная — ${\displaystyle \alpha _{1}=\alpha _{3}=0,\alpha _{2}=2}$

${\displaystyle {\stackrel {~\triangleright }{A}}_{ij}={\frac {DA_{ij}}{Dt}}+A_{ik}\cdot v_{k,j}-v_{i,k}\cdot A_{kj}}$

• Вращательная производная (производная Яумана, Яумана — Зарембы — Нолла) — ${\displaystyle \alpha _{1}=\alpha _{2}=-1,\alpha _{3}=0}$

${\displaystyle {\stackrel {~\circ }{A}}_{ij}={\frac {DA_{ij}}{Dt}}+A_{ik}\cdot v_{[k,j]}-v_{[i,k]}\cdot A_{kj}={\frac {1}{2}}\left({\stackrel {~\triangledown }{A}}_{ij}+{\stackrel {~\vartriangle }{A}}_{ij}\right)}$

• Производная Трусделла — ${\displaystyle \alpha _{1}=\alpha _{2}=0,\alpha _{3}=1}$

${\displaystyle {\stackrel {~\blacktriangledown }{A}}_{ij}={\frac {DA_{ij}}{Dt}}-A_{ik}\cdot v_{k,j}-v_{i,k}\cdot A_{kj}+{A}_{ij}\cdot v_{k,k}={\stackrel {~\triangledown }{A}}_{ij}+{A}_{ij}\cdot v_{k,k}}$

• Производная Хилла — ${\displaystyle \alpha _{1}=\alpha _{2}=-1,\alpha _{3}=1}$

${\displaystyle {\stackrel {~\bullet }{A}}_{ij}={\frac {DA_{ij}}{Dt}}+A_{ik}\cdot v_{[k,j]}-v_{[i,k]}\cdot A_{kj}+{A}_{ij}\cdot v_{k,k}={\stackrel {~\circ }{A}}_{ij}+{A}_{ij}\cdot v_{k,k}}$

Различные виды конвективной производной используются для моделирования неньютоновских жидкостей, см., например, жидкость Максвелла.

• Реологические уравнения
• О построении эволюционных определяющих уравнений
• [1]
• Weisstein, Eric W. Convective Operator (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

У этой статьи по физике есть несколько проблем, помогите их исправить: В статье не хватает ссылок на источники (см. рекомендации по поиску). Информация должна быть проверяема, иначе она может быть удалена. Вы можете отредактировать статью, добавив ссылки на авторитетные источники в виде сносок. (6 января 2011) В статье есть список источников, но не хватает сносок. Без сносок сложно определить, из какого источника взято каждое отдельное утверждение. Вы можете улучшить статью, проставив сноски на источники, подтверждающие информацию. Сведения без сносок могут быть удалены. (6 января 2011) Пожалуйста, после исправления проблемы исключите её из списка параметров. После устранения всех недостатков этот шаблон может быть удалён любым участником.