Конструкция Proj

Proj — конструкция, аналогичная конструкции аффинных схем как спектров колец, с помощью которой строятся схемы, обладающие свойствами проективных пространств и проективных многообразий.

В этой статье все кольца считаются коммутативными кольцами с единицей.

Пусть ${\displaystyle S}$ — градуированное кольцо, где

${\displaystyle S=\bigoplus _{i\geq 0}S_{i}}$

есть разложение в прямую сумму, ассоциированное с градуировкой.

Обозначим через ${\displaystyle S_{+}}$ идеал ${\displaystyle \bigoplus _{i>0}S_{i}.}$ Определим множество Proj S как множество всех однородных простых идеалов, не содержащих ${\displaystyle S_{+}.}$

В дальнейшем мы иногда для краткости будем обозначать Proj S как X.

Мы можем определить топологию, называемую топологией Зарисского, на Proj S, определяя замкнутые множества как множества вида

${\displaystyle V(a)=\{p\in \operatorname {Proj} \,S\mid a\subseteq p\},}$

где a — однородный идеал S. Как и в случае аффинных схем, легко проверяется, что V(a) — это замкнутые множества некоторой топологии на X.

Действительно, если ${\displaystyle (a_{i})_{i\in I}}$ — семейство идеалов, то ${\displaystyle \bigcap V(a_{i})=V(\Sigma a_{i})}$ и если множество I конечно, то ${\displaystyle \bigcup V(a_{i})=V(\Pi a_{i})}$.

Эквивалентно, можно начать с открытых множеств и определить

${\displaystyle D(a)=\{p\in \operatorname {Proj} \,S\mid a\;\not \subseteq \;p\}.}$

Стандартное сокращение состоит в том, чтобы обозначать D(Sf) как D(f), где Sf — это идеал, порождённый f. Для любого a, D(a) и V(a) очевидным образом дополнительны и приведённое выше доказательство показывает, что D(a) образуют топологию на Proj S. Преимущество этого подхода в том, что D(f), где f пробегает все однородные элементы S, образуют базис этой топологии, что является необходимым инструментом для изучения Proj S, аналогично случаю спектров колец.

Мы также строим пучок на Proj S, называемый структурным пучком, который превращает его в схему. Как и в случае конструкции Spec существует несколько способов это сделать: наиболее прямой из них, который также напоминает конструкцию регулярных функций на проективном многообразии в классической алгебраической геометрии, состоит в следующем. Для любого открытого множества U в Proj S мы определяем кольцо ${\displaystyle O_{X}(U)}$ как множество всех функций

${\displaystyle f\colon U\to \bigcup _{p\in U}S_{(p)}}$

(где ${\displaystyle S_{(p)}}$ обозначает подкольцо локального кольца ${\displaystyle S_{p}}$ точки ${\displaystyle p}$, состоящее из частных однородных элементов одинаковой степени) таких, что для каждого простого идеала p в U:

1. f(p) является элементом ${\displaystyle S_{(p)}}$;
2. существует открытое подмножество V множества U, содержащее p, и однородные элементы s, t кольца S одинаковой степени, такие, что для каждого простого идеала q в V:
   • t не лежит в q;
   • f(q) = s/t.

Из определения немедленно следует, что ${\displaystyle O_{X}(U)}$ образуют пучок колец ${\displaystyle O_{X}}$ на Proj S, и можно показать, что пара (Proj S, ${\displaystyle O_{X}}$) является схемой (при этом каждое подмножество D(f) является аффинной схемой).

Существенным свойством S в конструкции выше была возможность построения локализаций ${\displaystyle S_{(p)}}$ для каждого простого идеала p в S. Этим свойством также обладает любой градуированный модуль M над S, и, следовательно, конструкция из раздела выше с небольшими изменениями позволяет построить для такого M пучок ${\displaystyle O_{X}}$-модулей на Proj S, обозначаемый ${\displaystyle {\tilde {M}}}$. По построению этот пучок является квазикогерентным. Если S порождается конечным числом элементов степени 1 (то есть является кольцом многочленов или его фактором), все квазикогерентные пучки на Proj S получаются из градуированных модулей с помощью этой конструкции.^[1] Соответствующий градуированный модуль не является единственным.

Частный случай пучка, ассоциированного с градуированным модулем — это когда в качестве M мы берём само S с другой градуировкой: а именно, мы считаем элементами степени d модуля M элементы степени (d + 1) кольца S и обозначаем M = S(1). Мы получаем квазикогерентный пучок ${\displaystyle {\tilde {M}}}$ на Proj S, обозначаемый ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(1)}$ или просто ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$ и называемый скручивающим пучком Серра. Можно проверить, что ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$ является обратимым пучком.

Одна из причин полезности ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$ состоит в том, что он позволяет восстановить алгебраическую информацию об S, которая была потеряна в конструкции ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ при переходе к частным степени 0. В случае Spec A для кольца A, глобальные сечения структурного пучка являются самим A, тогда как в нашем случае глобальные сечения пучка ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ состоят из элементов S степени 0. Если мы определим

${\displaystyle {\mathcal {O}}(n)=\bigotimes _{i=1}^{n}{\mathcal {O}}(1)}$

то каждое ${\displaystyle {\mathcal {O}}(n)}$ содержит «информацию об S в градуировке n». Аналогично, для любого пучка ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-модулей N мы можем определить

${\displaystyle N(n)=N\otimes {\mathcal {O}}(n)}$

и ожидать, что этот подкрученный пучок содержит «градуировочную» информацию об N. В частности, если ${\displaystyle N}$ является пучком, ассоциированным с градуированным ${\displaystyle S}$-модулем ${\displaystyle M=S(1)}$, мы ожидаем, что этот пучок содержит утраченную информацию об ${\displaystyle M}$. Это позволяет предположить, хотя и неправильно, что S можно восстановить из этих пучков, как $${\displaystyle \bigoplus _{n\geq 0}H^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(n));}$$ это на самом деле верно в приведённом ниже случае, когда S является кольцом многочленов.

Если A — кольцо, мы определяем n-мерное проективное пространство над A как схему

${\displaystyle \mathbb {P} _{A}^{n}=\operatorname {Proj} \,A[x_{0},\ldots ,x_{n}].}$

Мы определяем градуировку на кольце ${\displaystyle S=A[x_{0},\ldots ,x_{n}]}$, полагая, что каждое ${\displaystyle x_{i}}$ имеет степень 1 и каждый элемент A имеет степень 0. Сопоставляя это с определением O(1), данным выше, мы видим, что сечения O(1) — это линейные однородные многочлены, порождаемые элементами ${\displaystyle x_{i}}$.

• Если мы возьмём как базовое кольцо ${\displaystyle A=\mathbb {C} [\lambda ]}$, то ${\displaystyle {\text{Proj}}(A[X,Y,Z]/(ZY^{2}-X(X-Z)(X-\lambda Z)))}$ имеет канонический проективный морфизм на аффинную прямую ${\displaystyle \mathbb {A} _{\lambda }^{1}}$, слои которого являются эллиптическими кривыми, кроме слоёв над точками ${\displaystyle \lambda =0,1}$, над которыми слои вырождаются в нодальные кривые.
• Проективная гиперповерхность ${\displaystyle {\text{Proj}}\left(\mathbb {C} [X_{0},\ldots ,X_{4}]/(X_{0}^{5}+\cdots X_{4}^{5})\right)}$ является примером трёхмерной квинтики Ферма, которая также является многообразием Калаби — Яу.
• Если мы рассмотрим тривиальную градуировку на ${\displaystyle A}$, то есть ${\displaystyle A_{0}=A}$ и ${\displaystyle A_{i}=0}$ для ${\displaystyle i\neq 0}$, то ${\displaystyle {\text{Proj}}(A)={\text{Spec}}(A)}$.
• Взвешенные проективные пространства^[англ.] можно построить, используя кольца многочленов с нестандартными степенями переменных. Например, the взвешенное проективное пространство ${\displaystyle \mathbb {P} (1,1,2)}$ соответствует взятию ${\displaystyle {\text{Proj}}}$ кольца ${\displaystyle A[X_{0},X_{1},X_{2}]}$ где ${\displaystyle X_{0},X_{1}}$ имеют степень ${\displaystyle 1}$, тогда как ${\displaystyle X_{2}}$ имеет степень 2.
• Биградуированное кольцо соответствует подсхеме произведения проективных пространств. Например, биградуированная алгебра ${\displaystyle \mathbb {C} [X_{0},X_{1},Y_{0},Y_{1}]}$, где ${\displaystyle X_{i}}$ имеют степень ${\displaystyle (1,0)}$ и ${\displaystyle Y_{i}}$ имеют степень ${\displaystyle (0,1)}$, соответствует ${\displaystyle \mathbb {P} _{X}^{1}\times \mathbb {P} _{Y}^{1}}$.

• Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия / пер. с англ. В. А. Исковских. — М.: Мир, 1981.
• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean. «Éléments de géométrie algébrique: II. Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes». Publications Mathématiques de l’IHÉS. 8, 1961.