Критерий Андерсона — Дарлинга

Классический непараметрический критерий согласия Андерсона — Дарлинга [1, 2] предназначен для проверки простых гипотез о принадлежности анализируемой выборки полностью известному закону (о согласии эмпирического распределения ${\displaystyle F_{n}(x)}$ и теоретического закона ${\displaystyle F(x,\theta )}$) , то есть для проверки гипотез вида ${\displaystyle H_{0}:F_{n}(x)=F(x,\theta )}$ с известным вектором параметров теоретического закона.

В критерии ${\displaystyle \Omega ^{2}}$ Андерсона — Дарлинга [1, 2] используется статистика вида:

${\displaystyle S_{\Omega }=-n-2\sum _{i=1}^{n}\left\{{\frac {2i-1}{2n}}\ln(F(x_{i},\theta ))+\left(1-{\frac {2i-1}{2n}}\right)\ln(1-F(x_{i},\theta ))\right\}}$,

где ${\displaystyle n}$ — объём выборки, ${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}}$ — упорядоченные по возрастанию элементы выборки.

При справедливости простой проверяемой гипотезы статистика критерия подчиняется распределению вида ${\displaystyle a2(S)}$ [2, 3, 4].

При проверке простых гипотез критерий является свободным от распределения, то есть не зависит от вида закона, с которым проверяется согласие.

Проверяемая гипотеза отклоняется при больших значениях статистики. Процентные точки распределения ${\displaystyle a2(S)}$ приведены в [3, 4].

При проверке сложных гипотез вида ${\displaystyle H_{0}:F_{n}(x)\in \left\{F(x,\theta ),\theta \in \Theta \right\}}$ , где оценка ${\displaystyle {\hat {\theta }}}$ скалярного или векторного параметра распределения ${\displaystyle F(x,\theta )}$ вычисляется по той же самой выборке, непараметрические критерии согласия теряют свойство свободы от распределения [5, 4, 6] (распределением статистики при справедливости ${\displaystyle H_{0}}$ уже не будет являться распределение ${\displaystyle a2(S)}$).

При проверке сложных гипотез распределения статистик непараметрических критериев согласия зависят от ряда факторов: от вида наблюдаемого закона ${\displaystyle F(x,\theta )}$ , соответствующего справедливой проверяемой гипотезе ${\displaystyle H_{0}}$; от типа оцениваемого параметра и числа оцениваемых параметров; в некоторых случаях от конкретного значения параметра (например, в случае семейств гамма- и бета-распределений); от метода оценивания параметров. Различия в предельных распределениях той же самой статистики при проверке простых и сложных гипотез настолько существенны, что пренебрегать этим ни в коем случае нельзя.

• Критерий согласия Колмогорова
• Критерий Крамера — Мизеса — Смирнова
• Критерий согласия Купера
• Критерий согласия Пирсона
• Критерий согласия Ватсона

1. Anderson T. W., Darling D. A. Asymptotic theory of certain «goodness of fit» criteria based on stochastic processes // Ann. Math. Statist. — 1952. — V. 23. — P. 193—212.
2. Anderson T. W., Darling D. A. A test of goodness of fit // J. Amer. Stist. Assoc., 1954. — V. 29. — P. 765—769.
3. Большев Л. Н., Смирнов Н. В. Таблицы математической статистики. — М.: Наука, 1983. — 416 с.
4. Р 50.1.037-2002. Рекомендации по стандартизации. Прикладная статистика. Правила проверки согласия опытного распределения с теоретическим. Часть II. Непараметрические критерии. — М.: Изд-во стандартов, 2002. — 64 с.
5. Kac M., Kiefer J., Wolfowitz J. On Tests of Normality and Other Tests of Goodness of Fit Based on Distance Methods // Ann. Math. Stat. — 1955. — V. 26. — P. 189—211.
6. Лемешко Б. Ю. Непараметрические критерии согласия. Руководство по применению : монография. – 2-е изд., перераб. и доп. – Москва : ИНФРА-М, 2024. – 201 с. – (Научная мысль). – DOI 10.12737/2058731. https://znanium.ru/read?id=435212

О применении критерия при проверке сложных гипотез:

• Statistic Distribution Models for Some Nonparametric Goodness-of-Fit Tests in Testing Composite Hypotheses // Communications in Statistics — Theory and Methods, 2010. Vol. 39. — No. 3. — P. 460—471.
• Модели распределений статистик непараметрических критериев согласия при проверке сложных гипотез с использованием оценок максимального правдоподобия. Ч. I // Измерительная техника. — 2009. — № 6. — С. 3—11.
• Модели распределений статистик непараметрических критериев согласия при проверке сложных гипотез с использованием оценок максимального правдоподобия. Ч. II // Измерительная техника. — 2009. — № 8. — С. 17—26.

О мощности критериев согласия:

• Сравнительный анализ мощности критериев согласия при близких конкурирующих гипотезах. I. Проверка простых гипотез // Сибирский журнал индустриальной математики. — 2008. — Т. 11. — № 2(34). — С. 96—111.
• Сравнительный анализ мощности критериев согласия при близких альтернативах. II. Проверка сложных гипотез // Сибирский журнал индустриальной математики. — 2008. — Т. 11. — № 4(36). — С. 78—93.
• Мощность критериев согласия при близких альтернативах // Измерительная техника. — 2007. — № 2. — С. 22—27.