Критерий Краскела — Уоллиса

Критерий Краскела — Уоллиса предназначен для проверки равенства медиан нескольких выборок. Данный критерий является многомерным обобщением критерия Уилкоксона — Манна — Уитни. Критерий Краскела — Уоллиса является ранговым, поэтому он инвариантен по отношению к любому монотонному преобразованию шкалы измерения.

Известен также под названиями: H-критерий Краскела — Уоллиса, однофакторный дисперсионный анализ Краскела — Уоллиса (англ. Kruskal — Wallis one-way analysis of variance), тест Крускала — Уоллиса (англ. Kruskal — Wallis test). Назван в честь американских математиков Уильяма Краскела и Аллена Уоллиса.

Проходит чемпионат мира по футболу. Первая выборка — опрос болельщиков с вопросом «Каковы шансы на победу сборной России?» до начала чемпионата. Вторая выборка — после первой игры, третья — после второго матча и т. д. Значения в выборках — шансы России на победу по десятибалльной шкале (1 — «никаких перспектив», 10 — «отвезти в Россию кубок — дело времени»). Требуется проверить, зависят ли результаты опросов от хода чемпионата.

Заданы ${\displaystyle k}$ выборок:

${\displaystyle x_{1}^{n_{1}}=\{x_{11},\;\ldots ,\;x_{1n_{1}}\},\;\ldots ,\;x_{k}^{n_{k}}=\{x_{k1},\;\ldots ,\;x_{kn_{k}}\}}$.

Объединённая выборка будет иметь вид:

${\displaystyle x=x_{1}^{n_{1}}\cup x_{2}^{n_{2}}\cup \ldots \cup x_{k}^{n_{k}}.}$

Дополнительные предположения:

1. все выборки простые, объединённая выборка независима;
2. выборки взяты из неизвестных непрерывных распределений ${\displaystyle F_{1}(x),\;\ldots ,\;F_{k}(x)}$.

Проверяется нулевая гипотеза ${\displaystyle H_{0}\colon F_{1}(x)=\ldots =F_{k}(x)}$ при альтернативе ${\displaystyle H_{1}\colon F_{1}(x)=F_{2}(x-\Delta _{1})=\ldots =F_{k}(x-\Delta _{k-1})}$.

Упорядочим все ${\displaystyle N=\sum _{i=1}^{k}n_{i}}$ элементов выборок по возрастанию и обозначим ${\displaystyle R_{ij}}$ ранг ${\displaystyle j}$-го элемента ${\displaystyle i}$-й выборки в полученном вариационном ряду.

Статистика критерия Краскела — Уоллиса для проверки гипотезы о наличии сдвига в параметрах положения двух сравниваемых выборок имеет вид:

${\displaystyle H=\sum _{i=1}^{k}\left(1-{\frac {n_{i}}{N}}\right)\left\{{\frac {{\bar {R}}_{i}-{\dfrac {N+1}{2}}}{\sqrt {\dfrac {(N-n_{i})(N+1)}{12n_{i}}}}}\right\}^{2}={\frac {12}{N(N+1)}}\sum _{i=1}^{k}n_{i}\left({\bar {R}}_{i}-{\frac {N+1}{2}}\right)^{2}=}$

${\displaystyle ={\frac {12}{N(N+1)}}\sum _{i=1}^{k}{\frac {R_{i}^{2}}{n_{i}}}-3(N+1)}$,

где

${\displaystyle R_{i}=\sum _{j=1}^{n_{i}}R_{ij}}$;

${\displaystyle {\bar {R}}_{i}={\frac {1}{n_{i}}}R_{i}}$.

Гипотеза сдвига отклоняется на уровне значимости ${\displaystyle \alpha }$, если ${\displaystyle H\geqslant H_{\alpha }}$, где ${\displaystyle H_{\alpha }}$ — критическое значение, при ${\displaystyle k\leqslant 5}$ и ${\displaystyle n_{i}\leqslant 8}$ вычисляемое по таблицам. При бо́льших значениях применимы различные аппроксимации.

Пусть

${\displaystyle M={\frac {N^{3}-\displaystyle {\sum _{i=1}^{k}n_{i}^{3}}}{N(N+1)}}}$;

${\displaystyle \nu _{1}=(k-1){\frac {(k-1)(M-k+1)-V}{{\dfrac {1}{2}}MV}}}$;

${\displaystyle \nu _{2}={\frac {M-k+1}{k-1}}\nu _{1}}$;

${\displaystyle V=2(k-1)-{\frac {2\left\{3k^{2}-6k+N(2k^{2}-6k+1)\right\}}{5N(N+1)}}-{\frac {6}{5}}\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{n_{i}}}}$.

Тогда статистика ${\displaystyle F={\frac {H(M-k+1)}{(k-1)(M-H)}}}$ будет иметь при отсутствии сдвига ${\displaystyle F}$-распределение с ${\displaystyle \nu _{1}}$ и ${\displaystyle \nu _{2}}$ степенями свободы. Таким образом, нулевая гипотеза отклоняется на уровне значимости ${\displaystyle \alpha }$, если ${\displaystyle F>F_{\alpha }(\nu _{1},\;\nu _{2})}$.

В соответствии с ней нулевая гипотеза сдвига отклоняется с достоверностью ${\displaystyle \alpha }$, если ${\displaystyle J\geqslant J_{\alpha }}$, где ${\displaystyle J={\frac {H}{2}}\left(1+{\frac {N-k}{N-1-H}}\right)}$; ${\displaystyle J_{\alpha }=\left\{(k-1)F_{\alpha }(k-1;\;N-k)+\chi _{\alpha }^{2}(k-1)\right\}}$, ${\displaystyle F_{\alpha }(f_{1};\;f_{2})}$ и ${\displaystyle \chi _{\alpha }^{2}(a)}$ — соответственно критические значения статистик Фишера и хи-квадрат с соответствующими степенями свободы.

Это более точная аппроксимация, чем аппроксимация Краскела — Уоллиса. При наличии связанных рангов (то есть когда совпадают значения величин из разных выборок и им присваиваются одинаковые средние ранги) необходимо использовать модифицированную статистику ${\displaystyle H^{*}=H\left\{1-\left(\sum _{j=1}^{q}{\frac {T_{j}}{N^{3}-N}}\right)\right\}^{-1}}$, где ${\displaystyle T_{j}=t_{j}^{3}-t_{j}}$; ${\displaystyle t_{j}}$ — размер ${\displaystyle j}$-й группы одинаковых элементов; ${\displaystyle q}$ — количество групп одинаковых элементов. При ${\displaystyle n_{i}\geqslant 20}$ справедлива аппроксимация распределения статистики ${\displaystyle H}$; ${\displaystyle \chi ^{2}}$-распределением с ${\displaystyle f=k-1}$ степенями свободы, то есть нулевая гипотеза отклоняется, если ${\displaystyle H\geqslant \chi _{\alpha }^{2}(k-1)}$.

• Критерий Кохрена

Для проверки гипотезы об однородности средних может использоваться ряд параметрических критериев: сравнения двух выборочных средних при известных дисперсиях; сравнения двух выборочных средних при неизвестных, но равных дисперсиях (критерий Стьюдента); сравнения двух выборочных средних при неизвестных и неравных дисперсиях; F-критерий проверки однородности средних, k-выборочный вариант критерия Стьюдента. В этих же целях может применяться целая совокупность непараметрических критериев, к которым относится критерий Краскела–Уоллиса, критерий Уилкоксона, критерий Манна–Уитни, критерий Ван дер Вардена, k-выборочный критерий Ван дер Вардена и др. Можно отметить относительную устойчивость параметрических критериев к нарушению предположения о нормальности анализируемых выборок. Но и выигрыш в мощности параметрических критериев перед непараметрическими оказывается относительно незначительным. Более подробно со свойствами упомянутых критериев можно ознакомиться в руководстве:

• Лемешко Б. Ю. Критерии проверки гипотез об однородности. Руководство по применению : монография. – 2-е изд., перераб. и доп. – Москва : ИНФРА-М, 2021. – 248 с. – (Научная мысль). – DOI 10.12737/986695 https://znanium.ru/read?id=367822

• Kruskal W. H., Wallis W. A. Use of ranks in one-criterion variance analysis. // Journal of the American Statistical Association. — 1952, 47 № 260. — pp. 583–621.
• Ликеш И., Ляга Й. Основные таблицы математической статистики. — М.: Финансы и статистика, 1985.
• Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006. — 466—468 с.

• Критерий Краскела — Уоллиса