Критерий Эйзенштейна

Крите́рий Э́йзенштейна — признак неприводимости многочлена, названный в честь немецкого математика Фердинанда Эйзенштейна. Несмотря на (традиционное) название, является именно признаком, то есть достаточным условием — но вовсе не необходимым, как можно было бы предположить, исходя из математического смысла слова «критерий» (см. ниже).

Пусть ${\displaystyle a(x)=a_{0}+a_{1}x+...+a_{n}x^{n}}$ — многочлен над факториальным кольцом R (${\displaystyle n>0}$), и для некоторого простого ${\displaystyle p}$ выполняются следующие условия:

• ${\displaystyle p\nmid a_{n}}$ (то есть ${\displaystyle a_{n}}$ не делится на ${\displaystyle p}$),
• ${\displaystyle p\mid a_{i}}$ для любого i от 0 до n-1,
• ${\displaystyle p^{2}\nmid a_{0}}$.

Тогда многочлен ${\displaystyle a(x)}$ неприводим над F — полем частных кольца R.

Наиболее часто этот критерий применяется, когда R — кольцо целых чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, а F — поле рациональных чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

Предположим обратное: ${\displaystyle a(x)=f(x)g(x)}$, где ${\displaystyle f(x)=b_{0}+b_{1}x+...+b_{k}x^{k}}$ и ${\displaystyle g(x)=c_{0}+c_{1}x+...+c_{m}x^{m}}$ многочлены над F ненулевых степеней. Из леммы Гаусса следует, что их можно рассматривать как многочлены над R. Имеем:

${\displaystyle a_{0}=b_{0}c_{0}}$

По условию ${\displaystyle p\mid a_{0}}$ и R факториально, поэтому либо ${\displaystyle p\mid b_{0}}$ либо ${\displaystyle p\mid c_{0}}$, но не то и другое вместе ввиду того, что ${\displaystyle p^{2}\nmid a_{0}}$. Пусть ${\displaystyle p\mid b_{0}}$ и ${\displaystyle p\nmid c_{0}}$. Все коэффициенты ${\displaystyle f(x)}$ не могут делиться на ${\displaystyle p}$, так как иначе бы это было бы верно для ${\displaystyle a(x)}$. Пусть ${\displaystyle i}$ — минимальный индекс, для которого ${\displaystyle b_{i}}$ не делится на ${\displaystyle p}$. Отсюда следует:

${\displaystyle a_{i}=b_{i}c_{0}+b_{i-1}c_{1}+...}$

Так как ${\displaystyle p\mid a_{i}}$ и ${\displaystyle p\mid b_{j}}$ для всех ${\displaystyle j<i}$ то ${\displaystyle p\mid b_{i}c_{0}}$, но это невозможно, так как по условию ${\displaystyle p\nmid c_{0}}$ и ${\displaystyle p\nmid b_{i}}$. Теорема доказана.

• Многочлен ${\displaystyle x^{3}+2}$ неприводим над ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$
• Многочлен деления круга ${\displaystyle f(x)=x^{p-1}+x^{p-2}+...+1}$ неприводим. В самом деле, если он приводим, то приводим и многочлен ${\displaystyle f(x+1)={\frac {(x+1)^{p}-1}{(x+1)-1}}=x^{p-1}+C_{p}^{1}x^{p-2}+...C_{p}^{p-1}}$, а так как все его коэффициенты, кроме первого являются биномиальными, то есть делятся на ${\displaystyle p}$, так как ${\displaystyle p|C_{p}^{k}={\frac {p(p-1)...(p-k+1)}{k!}}}$, а последний коэффициент ${\displaystyle C_{p}^{p-1}=p}$ к тому же не делится на ${\displaystyle p^{2},}$ то по критерию Эйзенштейна он неприводим вопреки предположению.
• Многочлен ${\displaystyle x^{3}+4}$ над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ является примером, показывающим, что критерий Эйзенштейна («существует такое p, что …; тогда многочлен неприводим») является только достаточным, но не необходимым условием. Действительно, единственный простой делитель свободного члена это ${\displaystyle p=2}$, но 4 делится на ${\displaystyle 2^{2}}$ — поэтому критерий Эйзенштейна здесь неприменим. С другой стороны, как многочлен 3 степени без рациональных корней, этот многочлен неприводим.