Лемма Бореля — Кантелли

Ле́мма Боре́ля — Канте́лли в теории вероятностей — это результат, касающийся бесконечной последовательности событий. Лемма часто используется для доказательства предельных теорем. Обычно лемма разбивается на два утверждения, называемыми первой и второй леммами Бореля — Кантелли.

Пусть дано вероятностное пространство ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ и последовательность событий ${\displaystyle \{A_{n}\}_{n=1}^{\infty }\subset {\mathcal {F}}}$. Обозначим

${\displaystyle A=\limsup \limits _{n\to \infty }A_{n}\equiv \bigcap \limits _{n=1}^{\infty }\left(\bigcup \limits _{m=n}^{\infty }A_{m}\right)}$,

где ${\displaystyle A}$ — событие, состоящее в том, что произойдёт бесконечно много событий из ${\displaystyle A_{1},A_{2},...,A_{n}}$.

Тогда, если ${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }\mathbb {P} \left(A_{n}\right)<\infty }$, то ${\displaystyle \mathbb {P} (A)=0}$.

Если все события ${\displaystyle \{A_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ совместно независимы, и ${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }\mathbb {P} \left(A_{n}\right)=\infty }$, то ${\displaystyle \mathbb {P} (A)=1}$.

• Закон нуля или единицы
• Теорема о бесконечных обезьянах
• Борель, Эмиль
• Кантелли, Франческо Паоло^[англ.]
• Конвергенция Куратовского^[англ.]

• Ширяев А. Н. Вероятность. — М:.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. — С. 271. — 640 с. — ISBN 5-02-013995-6.