Линеаризация обратной связью

Линеариза́ция обра́тной свя́зью - способ приведения системы, абстрактно описываемой в виде ${\displaystyle \Delta x=F(x)+G(x)*u}$ к виду ${\displaystyle \Delta x=v,}$ где ${\displaystyle v}$ - некоторое внешнее управляющее воздействие. При этом нелинейная система становится линейной, а внешнее управление предусмотрено для стабилизации и управления оставшейся линейной частью системы.

В качестве закона управления обычно применяют ${\displaystyle u=G(x)^{-1}*(v-F(x)),}$ этот закон управления часто приводит к цели управления, если функция ${\displaystyle G(x)^{-1}}$ вычислима.

Рассмотрим случай линеаризации обратной связью системы с одним входом и одним выходом. Похожие результаты могут быть получены для систем с несколькими входами и выходами. Пусть исходная система представлена в виде:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}&=f(x)+g(x)u\qquad &(1)\\y&=h(x)\qquad \qquad \qquad &(2)\end{aligned}}}$

где ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ вектор состояния системы,

${\displaystyle u\in \mathbb {R} }$ вход,

${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$ выход.

Найдём преобразование ${\displaystyle z=T(x)}$ преобразующее систему к нормальной форме:

${\displaystyle u=a(x)+b(x)v,}$

теперь система представлена в форме вход-выход по отношению к новому входу ${\displaystyle v\in \mathbb {R} }$ и выходу ${\displaystyle y}$. Для того, чтобы преобразованная система была эквивалентна исходной, преобразование должно быть диффеоморфизмом, то есть, быть не только однозначным но и гладким. Практически, преобразование может быть локальным диффеоморфизмом, но тогда результаты линеаризации сохраняются только в этой локальной области.

Задача линеаризации обратной связью состоит в построении преобразованной системы, состояния которой — выход ${\displaystyle y}$ и его первые ${\displaystyle (n-1)}$ производных. Для достижения этой цели используем производную Ли. Рассмотрим производную по времени от (2), которая может быть вычислена с помощью правила дифференцирования сложной функции:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {y}}={\frac {\operatorname {d} h(x)}{\operatorname {d} t}}&={\frac {\operatorname {d} h(x)}{\operatorname {d} x}}{\dot {x}}\\&={\frac {\operatorname {d} h(x)}{\operatorname {d} x}}f(x)+{\frac {\operatorname {d} h(x)}{\operatorname {d} x}}g(x)u\end{aligned}}.}$

Теперь мы можем определить производную Ли от ${\displaystyle h(x)}$ через ${\displaystyle f(x)}$ как:

${\displaystyle L_{f}h(x)={\frac {\operatorname {d} h(x)}{\operatorname {d} x}}f(x),}$

и, аналогично, производную Ли от ${\displaystyle h(x)}$ через ${\displaystyle g(x)}$ как:

${\displaystyle L_{g}h(x)={\frac {\operatorname {d} h(x)}{\operatorname {d} x}}g(x).}$

Введя данные обозначения, определяем ${\displaystyle {\dot {y}}}$ как:

${\displaystyle {\dot {y}}=L_{f}h(x)+L_{g}h(x)u.}$

Применение производных Ли удобно, когда мы берем многократные производные или относительно той же самой векторной области или относительно различной. Например:

${\displaystyle L_{f}^{2}h(x)=L_{f}L_{f}h(x)={\frac {\operatorname {d} (L_{f}h(x))}{\operatorname {d} x}}f(x)}$

и

${\displaystyle L_{g}L_{f}h(x)={\frac {\operatorname {d} (L_{f}h(x))}{\operatorname {d} x}}g(x).}$

В линеаризуемой системе вектор состояния состоит из выходной переменной ${\displaystyle y}$ и её первых ${\displaystyle (n-1)}$ производных. Необходимо понять как вход ${\displaystyle u}$ вводится в систему. Для этого введём понятие относительной степени. Система (1), (2) имеет относительную степень ${\displaystyle r\in \mathbb {W} }$ в точке ${\displaystyle x_{0}}$ если:

${\displaystyle L_{g}L_{f}^{k}h(x)=0\qquad \forall x}$ в окрестности ${\displaystyle x_{0}}$ для всех ${\displaystyle k\leq r-2}$:

${\displaystyle L_{g}L_{f}^{r-1}h(x_{0})\neq 0}$

Таким образом, относительной степенью системы по выводу^[1] ${\displaystyle y}$ можно считать то количество раз, которое нужно продифференцировать по времени выход ${\displaystyle y}$ до момента, когда управление ${\displaystyle u}$ появится в выходном сигнале ${\displaystyle y}$ явно.

В то же время в теории линейных стационарных систем относительная степень — это разница между степенями полиномов числителя и знаменателя передаточной функции.

Далее будем полагать, что относительная степень системы равна ${\displaystyle n}$. В этом случае, дифференцируя выход ${\displaystyle n}$ раз, имеем:

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=h(x)\\{\dot {y}}&=L_{f}h(x)\\{\ddot {y}}&=L_{f}^{2}h(x)\\&\vdots \\y^{(n-1)}&=L_{f}^{n-1}h(x)\\y^{(n)}&=L_{f}^{n}h(x)+L_{g}L_{f}^{n-1}h(x)u\end{aligned}},}$

где ${\displaystyle y^{(n)}}$ означает ${\displaystyle n}$ю производную от ${\displaystyle y}$.

Учитывая, что относительная степень системы равна ${\displaystyle n}$, производные Ли формы ${\displaystyle L_{g}L_{f}^{i}h(x)}$ for ${\displaystyle i=1,\dots ,n-2}$ все равны нулю. Это означает, что вход ${\displaystyle u}$ не вносит прямого вклада в любую из ${\displaystyle (n-1)}$ первых производных.

Преобразование ${\displaystyle T(x)}$, приводящее систему к нормальной форме, может быть определено с использованием первых ${\displaystyle (n-1)}$ производных. В частности:

${\displaystyle z=T(x)={\begin{bmatrix}z_{1}(x)\\z_{2}(x)\\\vdots \\z_{n}(x)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}y\\{\dot {y}}\\\vdots \\y^{(n-1)}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}h(x)\\L_{f}h(x)\\\vdots \\L_{f}^{n-1}h(x)\end{bmatrix}}}$

преобразует фазовые траектории из начальной системы координат ${\displaystyle x}$ в новую ${\displaystyle z}$. Поскольку данное преобразование является диффеоморфизмом, гладкая траектория в исходном пространстве будет иметь единственный эквивалент в пространстве ${\displaystyle z}$, который также будет гладким. Данные траектории в пространстве ${\displaystyle z}$ описывают новую систему:

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {z}}_{1}&=L_{f}h(x)=z_{2}(x)\\{\dot {z}}_{2}&=L_{f}^{2}h(x)=z_{3}(x)\\&\vdots \\{\dot {z}}_{n}&=L_{f}^{n}h(x)+L_{g}L_{f}^{n-1}h(x)u\end{cases}}.}$

Таким образом, закон управления обратной связи ${\displaystyle u={\frac {1}{L_{g}L_{f}^{n-1}h(x)}}(-L_{f}^{n}h(x)+v)}$ является линейной передаточной функцией от ${\displaystyle v}$ к ${\displaystyle z_{1}=y}$.

Получаемая в результате линеаризованная система:

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {z}}_{1}&=z_{2}\\{\dot {z}}_{2}&=z_{3}\\&\vdots \\{\dot {z}}_{n}&=v\end{cases}}}$

представляет собой каскад из ${\displaystyle n}$ интеграторов, и управление ${\displaystyle v}$ может быть получено стандартными методами, используемыми в теории управления для линейных систем. В частности, закон управления ${\displaystyle v=-Kz\qquad ,}$ где вектор состояния ${\displaystyle z}$ включает выход ${\displaystyle y}$ и его первые ${\displaystyle (n-1)}$ производные, что в результате даёт линейную систему

${\displaystyle {\dot {z}}=Az,}$

где

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&1&0&\ldots &0\\0&0&1&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\ldots &1\\-k_{1}&-k_{2}&-k_{3}&\ldots &-k_{n}\end{bmatrix}}.}$

Таким образом, выбирая соответствующие ${\displaystyle k}$, можно произвольно располагать полюса замкнутой линеаризованной системы.

• Нелинейное управление

У этой статьи есть несколько проблем, помогите их исправить: Эту статью необходимо исправить в соответствии с правилами Википедии об оформлении статей. Пожалуйста, помогите улучшить эту статью. (24 июня 2008) В статье не хватает ссылок на источники (см. рекомендации по поиску). Информация должна быть проверяема, иначе она может быть удалена. Вы можете отредактировать статью, добавив ссылки на авторитетные источники в виде сносок. (24 июня 2008) Стиль этой статьи неэнциклопедичен или нарушает нормы литературного русского языка. Статью следует исправить согласно стилистическим правилам Википедии. (19 апреля 2020) Пожалуйста, после исправления проблемы исключите её из списка параметров. После устранения всех недостатков этот шаблон может быть удалён любым участником.