Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами

Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами — обыкновенное дифференциальное уравнение вида:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{a_{k}y^{(k)}(t)}=a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\dots +a_{1}y'+a_{0}y=f(t)}$

где

• ${\displaystyle y=y(t)}$ — искомая функция,
• ${\displaystyle y^{(k)}=y^{(k)}(t)}$ — её ${\displaystyle k}$-я производная,
• ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\dots a_{n}}$ — фиксированные числа,
• ${\displaystyle f(t)}$ — заданная функция (когда ${\displaystyle f(t)\equiv 0}$, имеем линейное однородное уравнение, иначе — линейное неоднородное уравнение).

Корень кратности ${\displaystyle k}$ многочлена ${\displaystyle a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\ldots +a_{n}}$ это число ${\displaystyle c}$, такое что этот многочлен делится без остатка на ${\displaystyle (x-c)^{k}}$, но не на ${\displaystyle (x-c)^{k+1}}$.

Однородное уравнение:

${\displaystyle a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\dots +a_{1}y'+a_{0}y=0}$

интегрируется следующим образом:

Пусть ${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{k}}$ — все различные корни характеристического многочлена, являющегося левой частью характеристического уравнения

${\displaystyle a_{n}\lambda ^{n}+a_{n-1}\lambda ^{n-1}+\dots +a_{1}\lambda +a_{0}=0}$

кратностей ${\displaystyle m_{1},m_{2},\dots ,m_{k}}$, соответственно, ${\displaystyle m_{1}+m_{2}+\dots +m_{k}=n}$.

Тогда функции

${\displaystyle t^{\nu }e^{\lambda _{j}t},\ \ 1\leq j\leq k,\ \ 0\leq \nu \leq m_{j}-1}$

являются линейно независимыми (вообще говоря, комплексными) решениями однородного уравнения, они образуют фундаментальную систему решений.

Общее решение уравнения является линейной комбинацией с произвольными постоянными (вообще говоря, комплексными) коэффициентами фундаментальной системы решений.

Воспользовавшись формулой Эйлера для пар комплексно сопряженных корней ${\displaystyle \lambda _{j}=\alpha _{j}\pm i\beta _{j},\ \ 1\leq j\leq k}$ можно заменить соответствующие пары комплексных функций в фундаментальной системе решений парами вещественных функций вида

${\displaystyle t^{\nu }e^{\alpha _{j}t}\cos(\beta _{j}t),\ \ t^{\nu }e^{\alpha _{j}t}\sin(\beta _{j}t),\ \ j\in {\overline {1\dots k}},\ \ 0\leq \nu \leq m_{j}-1}$

и построить общее решение уравнения в виде линейной комбинации с произвольными вещественными постоянными коэффициентами.

Однородное уравнение второго порядка:

${\displaystyle a_{2}y''+a_{1}y'+a_{0}y=0}$

интегрируется следующим образом:

Пусть ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}}$ — корни характеристического уравнения

${\displaystyle a_{2}\lambda ^{2}+a_{1}\lambda +a_{0}=0}$,

являющегося квадратным уравнением.

Вид общего решения однородного уравнения зависит от значения дискриминанта ${\displaystyle \Delta =a_{1}^{2}-4a_{2}a_{0}}$:

• при ${\displaystyle \Delta >0}$ уравнение имеет два различных вещественных корня

${\displaystyle \lambda _{1,2}=\alpha _{1,2}={\frac {-a_{1}\pm {\sqrt {\Delta }}}{2a_{2}}}.}$

Общее решение имеет вид:

${\displaystyle y(t)=c_{1}e^{\alpha _{1}t}+c_{2}e^{\alpha _{2}t}}$

• при ${\displaystyle \Delta =0}$ — два совпадающих вещественных корня

${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=\alpha ={\frac {-a_{1}}{2a_{2}}}.}$

Общее решение имеет вид:

${\displaystyle y(t)=c_{1}e^{\alpha t}+c_{2}te^{\alpha t}}$

• при ${\displaystyle \Delta <0}$ существуют два комплексно сопряженных корня

${\displaystyle \lambda _{1,2}=\alpha \pm i\beta ={\frac {-a_{1}}{2a_{2}}}\pm i{\frac {\sqrt {|\Delta |}}{2a_{2}}}.}$

Общее решение имеет вид:

${\displaystyle y(t)=c_{1}e^{\alpha t}\cos(\beta t)+c_{2}e^{\alpha t}\sin(\beta t)}$

Неоднородное уравнение интегрируется методом вариации произвольных постоянных (Метод Лагранжа).

Если дано частное решение неоднородного уравнения ${\displaystyle y_{0}(t)}$, и ${\displaystyle y_{1}(t),\ldots ,y_{n}(t)}$ — фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения, то общее решение уравнения задается формулой

${\displaystyle y(t)=c_{1}y_{1}(t)+\ldots +c_{n}y_{n}(t)+y_{0}(t),}$

где ${\displaystyle c_{1},\dots ,c_{n}}$ — произвольные постоянные.

Как в общем случае линейных уравнений, имеет место принцип суперпозиции, используемый в разных формулировках принципа суперпозиции в физике.

В случае, когда функция в правой части состоит из суммы двух функций

${\displaystyle f(t)=f_{1}(t)+f_{2}(t)}$,

частное решение неоднородного уравнения тоже состоит из суммы двух функций

${\displaystyle y_{0}(t)=y_{01}(t)+y_{02}(t)}$,

где ${\displaystyle y_{0j}(t),\ \ j\in {\overline {1,2}}}$ являются решениями неоднородного уравнения с правыми частями ${\displaystyle f_{j}(t),\ \ j\in {\overline {1,2}}}$, соответственно.

В случае, когда ${\displaystyle f(t)}$ — квазимногочлен, то есть

${\displaystyle f(t)=p(t)e^{\alpha t}\cos(\beta t)+q(t)e^{\alpha t}\sin(\beta t)}$

где ${\displaystyle p(t),\ q(t)}$ — многочлены, частное решение уравнения ищется в виде

${\displaystyle y_{0}(t)=(P(t)e^{\alpha t}\cos(\beta t)+Q(t)e^{\alpha t}\sin(\beta t))t^{s}}$

где

• ${\displaystyle P(t),\ Q(t)}$ многочлены, ${\displaystyle deg(P)=deg(Q)=Max(deg(p),\ deg(q))}$, коэффициенты которых находятся подстановкой ${\displaystyle y_{0}(t)}$ в уравнение и вычисление методом неопределенных коэффициентов.
• ${\displaystyle s}$ является кратностью комплексного числа ${\displaystyle w=\alpha +i\beta }$, как корня характеристического уравнения однородного уравнения.

В частности, когда

${\displaystyle f(t)=p(t)e^{\alpha t}}$

где ${\displaystyle p(t)}$ — многочлен, частное решение уравнения ищется в виде

${\displaystyle y_{0}(t)=P(t)e^{\alpha t}t^{s}}$

Здесь ${\displaystyle P(t)}$ — многочлен, ${\displaystyle deg(P)=deg(p)}$, с неопределенными коэффициентами, которые находятся подстановкой ${\displaystyle y_{0}(t)}$ в уравнение. ${\displaystyle s}$ является кратностью ${\displaystyle \alpha }$, как корня характеристического уравнения однородного уравнения.

Когда же

${\displaystyle f(t)=p(t)}$

где ${\displaystyle p(t)}$ — многочлен, частное решение уравнения ищется в виде

${\displaystyle y_{0}(t)=P(t)t^{s}}$

Здесь ${\displaystyle P(t)}$ — многочлен, ${\displaystyle deg(P)=deg(p)}$, а ${\displaystyle s}$ является кратностью нуля, как корня характеристического уравнения однородного уравнения.

Уравнение Коши — Эйлера является частным случаем линейного дифференциального уравнения вида:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{a_{k}(\alpha x+\beta )^{k}y^{(k)}(x)}=a_{n}(\alpha x+\beta )^{n}y^{(n)}(x)+...+a_{2}(\alpha x+\beta )^{2}y''(x)+a_{1}(\alpha x+\beta )y'(x)+a_{0}y(x)=f(x)}$,

приводимым к линейному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами подстановкой вида ${\displaystyle (\alpha x+\beta )=e^{t}}$.

Дифференциальные уравнения являются наиболее часто используемой и классической формой математического описания процессов. Разные формы математических описаний являются инструментальным средством аналитического анализа и синтеза динамических систем и систем автоматического управления. Дифференциальные уравнения, параметры которых зависят от переменных, называются нелинейными и не имеют общих решений. В настоящее время в теории автоматического управления широко используется математический аппарат интегральных преобразований Лапласа и Фурье. Из математики известно, что в частотную область компактно преобразуется д.у. с постоянными коэффициентами и при нулевых начальных условиях. И в теории управления такое уравнение является линейным.^[1]

Если динамическая система представлена нелинейными дифференциальными уравнениями математической физики, то для применения классических методов анализа этих систем требуется их линеаризация.

• Линейная рекуррентная последовательность — дискретный аналог линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

У этой статьи есть несколько проблем, помогите их исправить: В статье не хватает ссылок на источники (см. рекомендации по поиску). Информация должна быть проверяема, иначе она может быть удалена. Вы можете отредактировать статью, добавив ссылки на авторитетные источники в виде сносок. (19 ноября 2009) В статье есть список источников, но не хватает сносок. Без сносок сложно определить, из какого источника взято каждое отдельное утверждение. Вы можете улучшить статью, проставив сноски на источники, подтверждающие информацию. Сведения без сносок могут быть удалены. (19 ноября 2009) Пожалуйста, после исправления проблемы исключите её из списка параметров. После устранения всех недостатков этот шаблон может быть удалён любым участником.