Метод локализации

Метод локализации — метод синтеза систем автоматического управления нелинейными и нестационарными объектами, включающий формирование управления как функции вектора скорости и обеспечивающий локализацию и подавление действия возмущений.

Рассматривает задача управления нелинейными и нестационарными объектами, модель поведения которых имеет вид

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}{\dot {x}}=f(t,x,u),\\y=g(t,x),\end{matrix}}\right.}$

где ${\displaystyle x\in R^{n}}$; ${\displaystyle (y,u)\in R^{m}}$; ${\displaystyle m\leqslant n}$; ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ - однозначные непрерывно дифференцируемые функции. Явная зависимость правой части от ${\displaystyle t}$ отражает действие возмущений, которые могут быть порождены как нестационарностью характеристик, так и действием аддитивных (сигнальных) возмущений.

Цель функционирования состоит в организации свойства:

${\displaystyle \lim y(t)=v}$ при ${\displaystyle t\rightarrow \infty }$.

Динамика процесса ${\displaystyle y(t)\rightarrow v}$ должна отвечать требованиям по быстродействию и колебательности. В соответствии с этими требованиями конструируется эталонное (желаемое) дифференциальное уравнение для ${\displaystyle y}$, которому необходимо подчинить движение объекта.

Задачей синтеза является отыскание такого закона управления ${\displaystyle u(\cdot )}$, чтобы замкнутая система

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}{\dot {x}}=f(t,x,u(\cdot )),\\y=g(t,x)\end{matrix}}\right.}$

отвечала требованиям к статике и динамике.

Метод локализации предполагает, что управление формируется не только в виде функции состояния ${\displaystyle x(t)}$, но и в функции вектора скорости ${\displaystyle {\dot {x}}(t)}$. Если движение объекта описывается уравнением ${\displaystyle {\dot {x}}(t)=f(t,x,u)}$, то использование ${\displaystyle {\dot {x}}}$ означает текущую оценку правой части уравнения и, следовательно, действия всех возмущений и проявления всех свойств объекта управления. Полагается, что управление имеет вид

${\displaystyle u=u(x,{\dot {x}},v)}$.

Такое управление придает дополнительные технические возможности, которые объясняются эффектом локализации, хорошо «видимым» при структурной интерпретации управления в функции вектора скорости.

Для иллюстрации метода локализации рассматривается задача управления нелинейным нестационарным объектом вида

${\displaystyle {\dot {x}}=f(t,x)+b(t,x)u}$, ${\displaystyle b(t,x)>0}$, ${\displaystyle (x,u)\in R^{1}}$

где ${\displaystyle x}$ - состояние объекта; выход объекта ${\displaystyle y=x}$; ${\displaystyle u}$ - управление.

От замкнутой системы требуются динамические свойства, соответствующие дифференциальному уравнению

${\displaystyle {\dot {x}}=F(x,v)}$, ${\displaystyle v\in R^{1}}$,

здесь ${\displaystyle F}$ - уравнение эталонной (желаемой) динамики.

Управление организуется по закону

${\displaystyle u=k(F(x,v)-{\dot {x}})}$,

где ${\displaystyle k}$ — положительный коэффициент. При подстановке закона управления в уравнение объекта получается система вида

${\displaystyle {\dot {x}}={{bk} \over {1+bk}}F(x,v)+{{1} \over {1+bk}}f(t,x)}$.

Видно, что при увеличении коэффициента ${\displaystyle k}$, находящегося в нашем распоряжении, уравнение системы приближается к заданному и в пределе, при ${\displaystyle k\rightarrow \infty }$, вырождается в него.

• Utkin V. I. Control systems with decoupling motions / V. I. Utkin, A. S. Vostrikov // Preprints of 7-th kongress IFAC. Helsinki (Finland), 1978. 1978. Vol. 2., p.967-973.
• Востриков А. С. Синтез систем регулирования методом локализации: Монография. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2007. 252 с.
• Востриков А. С. Проблема синтеза регуляторов для систем автоматики: состояние и перспективы. // Автометрия, 2010. №2, том 46. C. 3–19.

• Интернет-семинара по проблемам синтеза систем автоматического регулирования