Метод непосредственного применения правил Кирхгофа

Метод непосредственного применения правил Ки́рхгофа^[1] для расчета электрической цепи заключается в составлении системы из В уравнений с В неизвестными (B — количество ветвей в рассматриваемой цепи) по двум правилам Кирхгофа и последующем их решении.

Рассмотрим расчёт электрической цепи, не содержащей источников тока. Рассматриваемая цепь состоит из В ветвей и У узлов. Её расчёт сводится к нахождению токов в В ветвях. Для этого необходимо составить (У — 1) независимых уравнений по первому правилу Кирхгофа и К = (В — У + 1) независимых уравнений по второму правилу Кирхгофа. Соответствующие этим уравнениям узлы и контуры называются независимыми (то есть содержащими хотя бы одну ветвь, не принадлежащую другим узлам/контурам).

Для решения составленной системы линейных алгебраических уравнений можно воспользоваться матричной формой

${\displaystyle AI=BE}$,

где

${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ — квадратные матрицы коэффициентов при токах и ЭДС порядка B;

${\displaystyle I}$ и ${\displaystyle E}$ — матрицы-столбцы неизвестных токов и заданных ЭДС.

Решение системы:

${\displaystyle I=A^{-1}BE=GE}$,

${\displaystyle A^{-1}}$	${\displaystyle ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1B}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2B}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{B1}&a_{B2}&\cdots &a_{BB}\end{bmatrix}}^{-1}=}$
	${\displaystyle ={\frac {1}{\Delta }}{\begin{bmatrix}\Delta _{11}&\Delta _{12}&\cdots &\Delta _{1B}\\\Delta _{21}&\Delta _{22}&\cdots &\Delta _{2B}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\Delta _{B1}&\Delta _{B2}&\cdots &\Delta _{BB}\end{bmatrix}}^{T}=}$
	${\displaystyle ={\frac {1}{\Delta }}{\begin{bmatrix}\Delta _{11}&\Delta _{21}&\cdots &\Delta _{B1}\\\Delta _{12}&\Delta _{22}&\cdots &\Delta _{B2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\Delta _{1B}&\Delta _{2B}&\cdots &\Delta _{BB}\end{bmatrix}}}$

— обратная матрица; ${\displaystyle \Delta }$ — определитель матрицы A; ${\displaystyle \Delta _{ik}}$ — алгебраические дополнения элементов ${\displaystyle a_{ik}}$ (см. способы нахождения обратной матрицы).

${\displaystyle G=A^{-1}B={\begin{bmatrix}g_{11}&g_{12}&\cdots &g_{1B}\\g_{21}&g_{22}&\cdots &g_{2B}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\g_{B1}&g_{B2}&\cdots &g_{BB}\end{bmatrix}}}$

— матрица собственных ${\displaystyle g_{ii}}$ и взаимных ${\displaystyle g_{ik}}$ проводимостей (см. метод наложения).

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}I_{1}=g_{11}E_{1}+g_{12}E_{2}+\cdots +g_{1B}E_{B};\\I_{2}=g_{21}E_{1}+g_{22}E_{2}+\cdots +g_{2B}E_{B};\\\vdots \\I_{B}=g_{B1}E_{1}+g_{B2}E_{2}+\cdots +g_{BB}E_{B};\end{matrix}}\right.}$

— система уравнений, определяющих токи ветвей.

Зачастую при расчёте цепей подобным методом возникает необходимость составления большого количества уравнений и последующего расчёта матриц большого порядка. Поэтому на практике применяются и другие методы расчёта.

В качестве примера рассмотрим расчёт цепи, схема которой показана на рисунке — она содержит У = 2 узла и В = 3 ветви, то есть К = В − У + 1 = 3 − 2 + 1 = 2 независимых контура (на рисунке контуры отмечены пунктирной линией — можно выбрать любую пару из них — 1 и 2, или 2 и 3, или 1 и 3).

Произвольно выбираем положительные направления токов ветвей ${\displaystyle I_{1}}$, ${\displaystyle I_{2}}$, ${\displaystyle I_{3}}$ (на рисунке направления уже отмечены). По первому закону Кирхгофа можно составить одно (У − 1 = 2 − 1 = 1) независимое уравнение, например для узла a

${\displaystyle -I_{1}-I_{2}+I_{3}=0}$,

и по второму закону Кирхгофа — два (К = 2) независимых уравнения, например, для контуров 1 и 2

${\displaystyle r_{1}I_{1}+r_{3}I_{3}=E_{1}+E_{2}}$;

${\displaystyle r_{2}I_{2}+r_{3}I_{3}=E_{2}+E_{3}}$.

Представим систему из этих трёх уравнений в матричной форме:

${\displaystyle {\begin{matrix}Y-1&\left\{~\right.\\K&\left\{{\begin{matrix}~\\~\end{matrix}}\right.\end{matrix}}{\begin{bmatrix}1&1&-1\\r_{1}&0&r_{3}\\0&r_{2}&r_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{1}\\I_{2}\\I_{3}\end{bmatrix}}=AI={\begin{bmatrix}0&0&0\\1&1&0\\0&1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E_{1}\\E_{2}\\E_{3}\end{bmatrix}}=BE}$

или

${\displaystyle {\begin{bmatrix}I_{1}\\I_{2}\\I_{3}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle ={\begin{bmatrix}1&1&-1\\r_{1}&0&r_{3}\\0&r_{2}&r_{3}\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}0&0&0\\1&1&0\\0&1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E_{1}\\E_{2}\\E_{3}\end{bmatrix}}=}$
	${\displaystyle ={\frac {1}{-(r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3})}}{\begin{bmatrix}-r_{2}r_{3}&-r_{1}r_{3}&r_{1}r_{2}\\-(r_{2}+r_{3})&r_{3}&-r_{2}\\r_{3}&-(r_{1}+r_{3})&-r_{1}\end{bmatrix}}^{T}{\begin{bmatrix}0&0&0\\1&1&0\\0&1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E_{1}\\E_{2}\\E_{3}\end{bmatrix}}=}$
	${\displaystyle ={\frac {1}{r^{2}}}{\begin{bmatrix}r_{2}r_{3}&r_{2}+r_{3}&-r_{3}\\r_{1}r_{3}&-r_{3}&r_{1}+r_{3}\\-r_{1}r_{2}&r_{2}&r_{1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&0&0\\1&1&0\\0&1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E_{1}\\E_{2}\\E_{3}\end{bmatrix}}=}$
	${\displaystyle ={\frac {1}{r^{2}}}{\begin{bmatrix}r_{2}+r_{3}&-r_{3}&r_{2}\\-r_{3}&r_{1}+r_{3}&r_{1}\\r_{2}&r_{1}&r_{1}+r_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E_{1}\\E_{2}\\E_{3}\end{bmatrix}}=[G][E].}$

Теперь составим систему уравнений токов:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}I_{1}=g_{11}E_{1}+g_{12}E_{2}+g_{13}E_{3};\\I_{2}=g_{21}E_{1}+g_{22}E_{2}+g_{23}E_{3};\\I_{3}=g_{31}E_{1}+g_{32}E_{2}+g_{33}E_{3},\end{matrix}}\right.}$

где

${\displaystyle g_{11}=(r_{2}+r_{3})/r^{2}}$;

${\displaystyle g_{22}=(r_{1}+r_{3})/r^{2}}$;

${\displaystyle g_{33}=(r_{1}+r_{2})/r^{2}}$;

${\displaystyle g_{12}=g_{21}=-r_{3}/r^{2}}$;

${\displaystyle g_{13}=g_{31}=r_{2}/r^{2}}$;

${\displaystyle g_{23}=g_{32}=r_{1}/r^{2}}$;

${\displaystyle r={\sqrt {r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3}}}}$.

При расчёте схем замещения с источниками тока возможны упрощения, поскольку токи ветвей с источниками тока известны, и рассчитывать их не нужно. Поэтому число независимых контуров (без источников тока), для которых необходимо составить уравнения по второму закону Кирхгофа, равно К = (В — В${\displaystyle _{J}}$ — У + 1), где В${\displaystyle _{J}}$ — число ветвей с источниками тока.

• Электротехника: Учеб. для вузов/А. С. Касаткин, М. В. Немцов.— 7-е изд., стер.— М.: Высш. шк., 2003.— 542 с.: ил. ISBN 5-06-003595-6

У этой статьи есть несколько проблем, помогите их исправить: Раздел литературы нуждается в оформлении согласно рекомендациям. Пожалуйста, оформите его согласно образцам здесь. (10 января 2015) В статье есть список источников, но не хватает сносок. Без сносок сложно определить, из какого источника взято каждое отдельное утверждение. Вы можете улучшить статью, проставив сноски на источники, подтверждающие информацию. Сведения без сносок могут быть удалены. (10 января 2015) Эту статью необходимо исправить в соответствии с правилами Википедии об оформлении статей. Пожалуйста, помогите улучшить эту статью. (10 января 2015) Пожалуйста, после исправления проблемы исключите её из списка параметров. После устранения всех недостатков этот шаблон может быть удалён любым участником.