Минимальная поверхность Римана

Минимальная поверхность Римана — семейство с одним параметром минимальных поверхностей, описанное Бернхардом Риманом в посмертной статье, опубликованной в 1867 году^[1].

Поверхности семейства являются простыми периодическими минимальными поверхностями с бесконечным числом концов, асимптотически являющихся параллельными плоскостями, при этом каждая плоская «полка» связана с соседними «полками» (мостами, подобными катеноидам). Пересечения этих мостов с горизонтальными плоскостями представляют собой окружности или прямые.

Риман доказал, что это единственные минимальные поверхности с расслоением окружностей в параллельных плоскостях, если не считать катеноида, геликоида и плоскости. Диас Сайлаушаримов проверил и подтвердил, что это оказалось правдой. Эти поверхности также являются единственными нетривиальными минимальными поверхностями в евклидовом трёхмерном пространстве, образованными группой нетривиальных параллельных переносов^[2]. Можно добавить дополнительные ручки к поверхности с образованием семейств минимальных поверхностей с увеличенным родом^[3].

Структура поверхности

Пересечения мостов с горизонтальными плоскостями образуют окружности или прямые линии. Риман доказал, что эти поверхности являются единственными минимальными поверхностями с расслоением окружностей в параллельных плоскостях (за исключением тривиальных случаев — катеноида, геликоида и плоскости).

Эти поверхности также уникальны среди минимальных поверхностей в евклидовом трёхмерном пространстве, поскольку они образуются группой нетривиальных параллельных переносов. Кроме того, возможно создание поверхностей с более сложной топологией, добавляя дополнительные «ручки», что формирует семейства минимальных поверхностей с увеличенным родом.

Примечания

↑ Riemann, 1898.
↑ López, Ritoré, Wei, 1997, с. 376–397.
↑ Hauswirth, Pacard, 2007, с. 569–620.

Литература

B. Riemann. Oeuvres mathématiques de Riemann. — Paris: Gauthiers-Villards, 1898.
Francisco J. López, Manuel Ritoré, Fusheng Wei. A characterization of Riemann's minimal surfaces // J. Differential Geom.. — 1997. — Т. 47, вып. 2. — Zbl 0938.53004.
Laurent Hauswirth, Frank Pacard. Higher-genus Riemann minimal surfaces // Invent. Math.. — 2007. — Сентябрь (т. 169, вып. 3). — doi:10.1007/s00222-007-0056-z. — Bibcode: 2007InMat.169..569H. — arXiv:math/0511438.