Многообразие Шимуры

Многообразие Шимуры (иногда многообразие Симуры) — аналог модулярной кривой в более высоких размерностях, который возникает как фактор эрмитова симметрического пространства^[англ.]^* по конгруэнтной подгруппе редуктивной алгебраической группе, определённой над Q. Термин «многообразие Шимуры» относится к высоким размерностям, в случае одномерных многообразий говорят о кривых Шимуры. Модулярные поверхности Гильберта^[англ.] и модулярные многообразия Зигеля^[англ.] находятся среди лучших известных классов многообразий Шимуры.

Специальные случаи многообразий Шимуры ввёл Горо Шимура в ходе обобщения теории комплексного умножения^[англ.] (модулярных кривых). Шимура показал, что первоначально определённые аналитически, объекты являются арифметическими в том смысле, что они удовлетворяют моделям, определенным^[англ.] над числовым полем, полем отражения многообразия Шимуры. В 1970-х годах Пьер Делинь создал аксиоматическую схему для работы Шимуры. Примерно в то же время Роберт Ленглендс заметил, что многообразия Шимуры образуют естественную область примеров, для которых эквивалентность между мотивными^[англ.] и автоморфными L-функциями^[англ.], постулированная в программе Ленглендса, может быть проверена. Автоморфные формы, реализованные в когомологии многообразия Шимуры, более поддаются изучению, чем общие автоморфные формы. В частности, существует построение, присоединяющее к ним представления Галуа^[англ.].

Определение

Исходные данные Шимуры

Пусть S = Res_C/R G_m — ограничение Вейля мультипликативной группы из комплексных чисел в вещественные числа. Оно является алгебраической группой, группа R-точек которой S(R) — C^*, а группа C-точек — $\mathbf {C} ^{*}\times \mathbf {C} ^{*}$ . Исходные данные Шимуры — это пара (G, X), состоящая из редуктивной алгебраической группы G, определённой над полем Q рациональных чисел, и G(R)-класса сопряжённости X гомоморфизмов h: $S\rightarrow G{\mathbf {R} }$ , удовлетворяющего следующим аксиомам:

Для любого h из X в g_C могут встретиться только веса (0,0), (1,−1), (−1,1), то есть комплексифицированная алгебра Ли группы G разлагается в прямую сумму

{\mathfrak {g}}\otimes \mathbb {C} ={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}^{+}\oplus {\mathfrak {p}}^{-},

где для любого z ∈ S h(z) действует тривиально на первый член суммы и посредством

z/{\bar {z}}

и

{\bar {z}}/z

) на второй и третий члены соответственно.

Сопряжённое действие h(i) порождает картанову инволюцию^[англ.] на сопряжённой группе группы G_R.
Сопряжённая группа для G_R не подчиняется фактору H, определённому над Q, так что проекция h на H тривиальна.

Из этих аксиом следует, что X имеет единственную структуру комплексного многообразия (возможно, несвязную), такую, что для любого представления $\rho :G_{\mathbf {R} }\rightarrow GL(V)$ , семейство $(V\rho \cdot h)$ является голоморфным семейством структур Ходжа. Более того, оно образует вариацию структуры Ходжа и X является конечным объединением (непересекающихся) эрмитово-симметрических областей^[англ.].

Многообразие Шимуры

Пусть A_ƒ — кольцо аделей^[англ.] группы Q. Для любой достаточно малой компактной открытой подгруппы K группы G(A_ƒ) двойной смежный класс^[англ.]

Sh_{K}(G,X)=G(\mathbb {Q} )\backslash X\times G(\mathbb {A} _{f})/K

является конечным объединением локально симметрических многообразий формы $\Gamma \smallsetminus X^{+}$ , где верхний индекс плюс обозначает связную компоненту. Многообразия $Sh_{K}(G,X)$ являются комплексными алгебраическими многообразиями и они образуют инверсивную систему^[англ.] над всеми достаточно маленькими компактными открытыми подгруппами K. Эта инверсивная система

(Sh_{K}(G,X))_{K}

подчиняется естественному правому действию $G(\mathbf {A} _{f})$ . Она также называется многообразием Шимуры, ассоциированным с исходными данными Шимуры (G, X) и обозначается Sh(G, X).

История

Для специальных типов эрмитово-симметрических областей и конгруэнтных подгрупп Γ алгебраическое многообразие вида $\Gamma \smallsetminus X=Sh_{K}(G,X)$ и его компактификация^[англ.] были введены в серии статей Горо Шимуры в течение 1960-х годов. Подход Шимуры, позднее представленный в его монографиях, был в большой степени феноменологическим и преследовал цель широкого обобщения формулировки закона взаимности теории комплексного умножения^[англ.] (модулярных кривых). Ретроспективно, название «многообразие Шимуры» ввёл Делинь, который пробовал изолировать абстрактные свойства, играющие роль в теории Шимуры. В формулировке Делиня многообразия Шимуры — это область параметров структур Ходжа некоторого типа. Тогда они образуют естественное обобщение модулярных кривых более высокой размерности, которые рассматриваются как пространства модулей эллиптических кривых с уровневой структурой.

Примеры

Пусть F — полностью вещественное числовое поле и D — кватернионная алгебра с делением над F. Мультипликативная группа D^× порождает каноническое многообразие Шимуры. Его размерность d является числом бесконечных мест, на которые D расщепляется. В частности, если d = 1 (например, если F = Q и $D\otimes \mathbf {R} \cong \mathrm {M} _{2}(\mathbf {R} )$ ), фиксируя достаточно малую арифметическую подгруппу группы D^×, получаем кривую Шимуры и кривые, возникающие из этого построения, уже компактны (то есть проективные^[англ.]).

Некоторые примеры кривых с известными уравнениями, заданные поверхностями Гурвица низкого рода:

и кривой Ферма степени 7^[1].

Другие примеры многообразий Шимуры включают модулярные поверхности Пикара^[англ.] и многообразия Гильберта — Блюменталя^[англ.].

Канонические модели и специальные точки

Любое многообразие Шимуры можно определить над каноническим числовым полем E называется полем отражений. Этот важный результат, принадлежащий Шимуре, показывает, что многообразия Шимуры, которые априори являются лишь комплексными многообразиями, имеют алгебраическое поле определения^[англ.] и, поэтому, имеют арифметическое значение. Это образует стартовую точку в формулировке закона взаимности, в котором важную роль играют некоторые арифметически определённые специальные точки.

Качественная природа замыкания Зарисского множеств точек на многообразии Шимуры описывается гипотезой Андре — Оорта. Условные результаты могут быть получены из этой гипотезы, исходя из обобщённой гипотезы Римана.

Роль в программе Ленглендса

Многообразия Шимуры играют выдающуюся роль в программе Ленглендса. Из отношения конгруэнтности Эйхлера — Шимуры^[англ.] следует, что дзета-функция Хассе — Вейля модулярной кривой является произведением L-функций, ассоциированных с явно определёнными модулярными формами веса 2. На самом деле, Горо Шимура ввёл свои многообразия и доказал свой закон взаимности в процессе обобщения этой теоремы. Дзета-функции многообразий Шимуры, ассоциированных с группой GL₂ над другими числовыми полями и их внутренние формы (то есть мудьтипликативные группы алгебр кватернионов) изучали Эйхлер, Шимура, Куга, Сато и Ихара. На основе их результатов Роберт Ленглендс высказал прогноз, что дзета-функция Вейля любого алгебраического многообразия W, определённого над числовым полем должна быть произведением положительных и отрицательных степеней автоморфных L-функций, то есть должна возникать из набора автоморфных представлений^[англ.]^*. Однако утверждения такого типа могут быть доказаны, если W является многообразием Шимуры. По словам Ленглендса:

Утверждение, что все L-функции, ассоциированные с многообразиями Шимуры, а тогда и с любым мотивом, определённым многообразием Шимуры, можно выразить в терминах автоморфных L-функций [его статьи 1970-го года], слабее, даже очень слабее, утверждения, что все мотивные L-функции равны таким L-функциям. Тем не менее, хотя ожидается, что более строгое утверждение верно, не существует, насколько я знаю, веских причин ожидать, что все мотивные L-функции будут прикреплены к многообразиям Шимуры.

Примечания

↑ Элкис, секция 4.4 (стр. 94-97) в Levy, 1999.

Литература

Montserrat Alsina, Pilar Bayer. Quaternion orders, quadratic forms, and Shimura curves. — Providence, RI: American Mathematical Society, 2004. — Т. 22. — (CRM Monograph Series). — ISBN 0-8218-3359-6.
Harmonic Analysis, the Trace Formula and Shimura Varieties / James Arthur, David Ellwood, Robert Kottwitz. — AMS, 2005. — Т. 4. — (Clay Mathematics Proceedings). — ISBN 978-0-8218-3844-0.
Pierre Deligne. Travaux de Shimura // Séminaire Bourbaki, 23ème année 1970/71 Exp. No. 389. — Springer, Berlin, 1971. — Т. 244. — С. 123–165. — (Lecture Notes in Math.).
Pierre Deligne. Variétés de Shimura: interprétation modulaire, et techniques de construction de modèles canoniques // Automorphic forms, representations and L-functions; Proc. Sympos. Pure Math., XXXIII (Corvallis, OR, 1977), Part 2. — Providence, R.I.: Amer. Math. Soc., 1979. — С. 247–289.
Pierre Deligne, James S. Milne, Arthur Ogus, Kuang-yen Shi. Hodge cycles, motives, and Shimura varieties. — Berlin-New York: Springer-Verlag, 1982. — Т. 900. — С. ii+414. — (Lecture Notes in Mathematics). — ISBN 3-540-11174-3.
The eightfold way / Silvio Levy. — Cambridge University Press, 1999. — Т. 35. — (Mathematical Sciences Research Institute Publications). — ISBN 978-0-521-66066-2.
Encyclopedia of Mathematics / Michiel Hazewinkel. — Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, 2001. — ISBN 978-1-55608-010-4.
Milne J. Shimura varieties and motives // Motives, Proc. Symp. Pure Math, 55:2 / Jannsen U., Kleiman S.. Serre J.-P.. — Amer. Math. Soc, 1994. — С. 447–523.
Milne J. S. Introduction to Shimura varieties. — 2004.
Harry Reimann. The semi-simple zeta function of quaternionic Shimura varieties / Dold E., Takens F.. — New York, London, Paris, Tokio: Springer, 1997. — Т. 1657. — (Lecture Notes in Mathematics). — ISBN 3-540-62645-X.
Goro Shimura. The Collected Works of Goro Shimura // . — 2003—2016. — Т. 1–5.
Goro Shimura. Introduction to Arithmetic Theory of Automorphic Functions. — Princeton, New Jersey: Princeton University Press, 1994. — Т. 11. — (Publications of the mathematical society of Japan). — ISBN 0-691-08092-5.