Модель Халла-Уайта

Модель Халла-Уайта (расширенная модель Васичека) - безарбитражная стохастическая однофакторная модель динамики краткосрочной (мгновенной) ставки, представляющая собой расширение базовой модели Васичека за счёт переменной величины среднего долгосрочного уровня ставки с учётом начальной рыночной кривой доходности. Также модель допускает обобщение, когда параметр волатильности и темпа возврата к среднему являются функциями времени (иногда именно это обобщение называют расширенной моделью Васичека).

Динамика форвардных ставок, следующая из Модели Халла-Уайта, соответствует требованиям HJM-подхода к моделированию динамики ставок в целях обеспечения безарбитражности, в том числе в соответствии с начальной кривой доходности.

Модель представляется в виде следующего стохастического дифференциального уравнения:

${\displaystyle dr_{t}=a\left(\theta _{t}-r_{t}\right)\,dt+\sigma \,dW_{t}}$

где для соблюдения требования безарбитражности динамики выполнено равенство

${\displaystyle \theta _{t}=f(0,t)+{\partial _{t}f(0,t) \over a}+{{\sigma }^{2}B_{2a}(0,t) \over {a}}}$,

где ${\displaystyle f(0,t)}$ - функция мгновенной форвардной ставки по кривой доходности в начальный момент времени

${\displaystyle B_{a}(t_{1},t_{2})=B_{a}(t_{2}-t_{1})={1-e^{-a(t_{2}-t_{1})} \over {a}}}$

В модель записывают иногда и в следующем виде:

${\displaystyle dr_{t}=\left(\theta _{t}-ar_{t}\right)\,dt+\sigma \,dW_{t},}$

где

${\displaystyle \theta _{t}=af(0,t)+f(0,t)+{\sigma }^{2}B_{2a}(0,t)}$,

В такой записи более очевидным становится, что в предельном случае модели Халла-Уайта когда ${\displaystyle a\rightarrow 0}$ получаем модель Хо-Ли:

${\displaystyle dr_{t}=\left(\partial _{t}f(0,t)+\sigma ^{2}t\right)\,dt+\sigma \,dW_{t}}$

Решение уравнения (интегральное представление модели) имеет вид:

${\displaystyle r_{t}=e^{-at}r_{0}+\int _{0}^{t}e^{a(s-t)}\theta _{s}ds+\sigma e^{-at}\int _{0}^{t}e^{au}\,dW_{u},}$

Таким образом, краткосрочная ставка в модели имеет следующее распределение:

${\displaystyle r_{t}\sim {\mathcal {N}}\left(e^{-at}r(0)+\int _{0}^{t}e^{a(s-t)}\theta _{s}ds,\sigma ^{2}B_{2a}(0,t)\right).}$

Модель Халла-Уайта для спот-ставки соответствует HJM-модели мгновенной форвардной ставки с функцией волатильности ${\displaystyle \sigma (t,T)=\sigma e^{-a(T-t)}}$.

Обобщённая модель Халла-Уайта допускает изменение во времени параметров ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle \sigma }$ представляется в виде следующего стохастического дифференциального уравнения:

${\displaystyle dr_{t}=a_{t}\left(\theta _{t}-r_{t}\right)\,dt+\sigma _{t}\,dW_{t}}$

где ${\displaystyle \theta _{t}=f(0,t)+{{\partial _{t}f(0,t)} \over {a_{t}}}+{1 \over {a_{t}}}\int _{0}^{t}{\sigma }_{u}^{2}e^{-2\int _{0}^{u}a_{s}ds}du}$

Эта модель спот-ставки соответствует HJM-модели мгновенной форвардной ставки с функцией волатильности ${\displaystyle \sigma (t,T)=\sigma _{t}e^{-a_{t}(T-t)}}$

В некоторых случаях удобно представить модель через искусственную переменную состояния ${\displaystyle Z_{t}}$, удовлетворяющую следующему стохастическому дифференциальному уравнению

${\displaystyle dZ_{t}=-a_{t}Z_{t}dt+\sigma _{t}dW_{t}}$

а спот-ставка выражается через эту переменную следующим образом

${\displaystyle r_{t}=f(0,t)+Z_{t}+H(t,t)}$, где функция ${\displaystyle H(t,T)=\int _{0}^{t}\sigma (u,T)\sigma _{P}(u,T)du}$, где ${\displaystyle \sigma _{P}(u,T)=\int _{u}^{T}\sigma (u,s)du}$

при таком определении форвардные ставки на любой срок выражаются следующим образом:

${\displaystyle f(t,T)=f(0,t)+H(t,T)+Z_{t}e^{-\int _{t}^{T}a_{s}ds}}$

Если в вышеприведённой форме модель задана в риск-нейтральной мере, то из соображений безарбитражности следует, что стоимость дисконтной облигации (соответственно дисконтная кривая) имеет вид:

${\displaystyle P(t,T)=e^{A(t,T)-B_{a}(t,T)r_{t}},}$

где

${\displaystyle B_{a}(t,T)={\frac {1-e^{-a(T-t)}}{a}}}$

${\displaystyle A(t,T)=\ln {\frac {P(0,T)}{P(0,t)}}-B_{a}(t,T){\frac {\partial \ln P(0,t)}{\partial t}}-0.5\sigma ^{2}B_{a}^{2}(t,T)B_{2a}(0,t).}$

где ${\displaystyle P(0,t),P(0,T)}$ - значение дисконтной кривой в начальный момент времени (модель калибруется с учётом фактической кривой в этот момент времени) для сроков ${\displaystyle t,T}$

Эти формулы можно записать и в терминах доходностей следующим образом:

${\displaystyle r(t,T)=f(0,t,T)+{\frac {B_{a}(t,T)}{T-t}}(r_{t}-f(0,t))+0.5\sigma ^{2}{\frac {B_{a}^{2}(t,T)B_{2a}(0,t)}{T-t}}.}$

Динамика стоимости дисконтной облигации в риск-нейтральной мере в рамках модели Халла-Уайта описывается следующим уравнением:

${\displaystyle dP(t,T)/P(t,T)=r_{t}dt+\sigma _{p}(t,T)dW_{t}^{\mathbb {Q} },\quad \sigma _{p}(t,T)=-\int _{t}^{T}\sigma (t,s)ds=-\sigma B_{a}(t,T)}$

Можно показать, что динамика цены форвардной облигации ${\displaystyle P(t,T,S)={P(t,S) \over P(t,T)}}$ в ${\displaystyle T}$-форвардной мере имеет вид:

${\displaystyle dP(t,T,S)/P(t,T,S)=(\sigma _{p}(t,S)-\sigma _{p}(t,T))dW_{t}^{\mathbb {Q} ^{T}}}$

то есть это процесс без дрифта (как минимум локальный мартингал) с процессом волатильности, равным

${\displaystyle \sigma _{p}(t,S)-\sigma _{p}(t,T)=-\sigma {e^{-a(T-t)}-e^{-a(S-t)} \over a}=-\sigma {e^{-aT}-e^{-aS} \over a}e^{at}}$

Колл- (пут-) опцион на дисконтную облигацию с датой погашения ${\displaystyle S}$ дает право его покупки (продажи) в момент экспирации ${\displaystyle T<S}$ по зафиксированной в момент заключения договора цене (${\displaystyle K_{p}}$- страйк опциона). Рыночная цена облигации в момент экспирации равна ${\displaystyle P(T,S)}$. Тогда стоимость такого опциона в момент ${\displaystyle t<T}$ будет равна

${\displaystyle V_{t}=P(t,T)\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {Q} ^{T}}[(z[P(T,S)-K_{p}])^{+}]}$

Учитывая, что ${\displaystyle P(T,S)=P(T,T,S)}$, то из приведенного выше уравнения динамики цены форвардной облигации ${\displaystyle P(t,T,S)}$ в ${\displaystyle T}$ форвардной мере следует, что такой опцион можно оценить по логнормальной формуле оценки стоимости опционов (формула типа Блэка):

${\displaystyle V_{t}=zP(t,T)[P(t,T,S)N(zd)-K_{p}N(z(d-v))]=z[P(t,S)N(zd)-P(t,T)K_{p}N(z(d-v))]}$

${\displaystyle d={1 \over v}\ln {P(t,T,S) \over K_{p}}+0.5v={1 \over v}\ln {P(t,S) \over K_{p}P(t,T)}+0.5v}$

где ${\displaystyle v^{2}=\int _{t}^{T}(\sigma _{p}(u,T)-\sigma _{p}(u,S))^{2}du=\sigma ^{2}B_{a}^{2}(T,S)B_{2a}(t,T)}$

Форвард-лукинг кэплет/флорлет (номер i в рамках кэпа/флора в целом) предполагает фиксацию ставки на период опциона ${\displaystyle [T_{i-1},T_{i}]}$ в начале этого периода, причём срочность ставки совпадает со срочностью ${\displaystyle \tau _{i}=\tau (T_{i-1},T_{i})}$ кэплета/флорлета. Формула оценки стоимости является логнормальной (типа Блэка), но с заменой "страйка" и "форвардной ставки":

${\displaystyle \forall t<T_{i-1}\qquad V_{i}(t)=P(t,T_{i})z[(1+F_{i}(t)\tau _{i})N(zd_{i})-(1+K\tau _{i})N(z(d_{i}-v_{i}))],}$

${\displaystyle d_{i}={\frac {\ln {\frac {1+F_{i}(t)\tau _{i}}{1+K\tau _{i}}}+0.5v_{i}^{2}}{v_{i}}},\qquad v_{i}=\sigma B_{a}(\tau _{i}){\sqrt {B_{2a}(T_{i-1}-t)}},\qquad B_{a}(x)={\frac {1-e^{-ax}}{a}}}$

Здесь и далее z равен 1 для кэплета и -1 для флорлета. При стремлении a к нулю (модель Хо-Ли) функция ${\displaystyle B_{a}(x)}$ стремится к ${\displaystyle x}$, поэтому а ${\displaystyle v_{i}}$ стремится к : ${\displaystyle v_{i}=\sigma \tau _{i}{\sqrt {T_{i-1}-t}}}$ как в классических формулах стоимости опционов (Блэка и Башелье).

Вышеуказанная формула для кэплета (флорлета) эквивалентна формуле для опциона-пут (соответственно - колл) на бескупонную облигацию с номиналом ${\displaystyle 1+K\tau _{i}}$ и страйком ${\displaystyle K_{p}={1 \over 1+K\tau _{i}}}$. Можно показать исходя из того, что ${\displaystyle 1+F\tau _{i}=P(t,T_{i-1})/P(t,T_{i})}$ (в итоге получим формулу для опциона на дисконтную облигации с -z вместо z, что означает, что кэплету соответствует опцион-пут, а флорлету - опцион колл.

Это соответствие между кэплетами/флорлетами и опционами на дисконтные облигации выполняется независимо от модели динамики процентной ставки. А именно, путем несложных арифметических преобразований и применяя процедуру замены меры c ${\displaystyle T_{i}}$-форвардной на ${\displaystyle T_{i-1}}$-форвардную меру можно показать, что выполнено равенство:

${\displaystyle V_{t}=P(t,T)\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {Q} ^{T_{i}}}[(z[L(T_{i-1}\,T_{i})\tau _{i}-K\tau _{i}])^{+}]=(1+K\tau _{i})P(t,T_{i-1})\mathbb {E} _{t}^{\mathbb {Q} ^{T_{i-1}}}[(-z[P(T_{i-1},T_{i})-K_{p}])^{+}]}$

Бэкворд-лукинг кэплет/флорлет предполагает фиксацию ставки на период опциона ${\displaystyle [T_{i-1},T_{i}]}$ в конце этого периода, путём начисления процентов по овернайт-ставке. Для упрощения обычно такое начисление заменяется непрерывным начислением. При этом теоретически возможны два случая - сложное начисление и арифметическое (азиатский опцион).

Формула оценки такого кэплета/флорлета аналогична форвард-лукинг случаю (типа Блэка, логнормальная формула), за исключением значения ${\displaystyle v_{i}}$, которое в данном случае определяется следующим образом:

${\displaystyle v_{i}={\frac {\sigma }{a}}{\sqrt {\tau _{i}-B_{a}(\tau _{i})-{\frac {a}{2}}e^{-2a(T_{i-1}-t)}B_{a}^{2}(\tau _{i})}}}$

Такая запись относительно простая, однако не совсем наглядна разница со случаем форвард-лукинг, поэтому эту формулу также можно записать в следующем виде, в котором видна прибавка к форвард-лукинг случаю:

${\displaystyle v_{i}=\sigma B_{a}(\tau _{i}){\sqrt {B_{2a}(T_{i-1}-t)+{\frac {\tau _{i}}{3}}g(a\tau _{i})}},\qquad g(x)={\frac {3}{2x}}\left[{\frac {1-b(x)}{b(x)-b(2x)}}-1\right],\qquad b(x)={\frac {1-e^{-x}}{x}}}$

В такой записи видно, что здесь "дисперсия" больше, чем в форвард-лукинг случае. Функция ${\displaystyle g(x)}$ стремится к 1 при стремлении ${\displaystyle x}$ к 0. Можно показать, что при ${\displaystyle x<<1}$ (на практике в основном ${\displaystyle a\tau _{i}<0.5}$ и часто ${\displaystyle a\tau _{i}<0.25}$) функция ${\displaystyle g(x)\approx \left(1+{\frac {x}{8}}\right)^{2}}$ достаточно точно. При стремлении ${\displaystyle a}$ к нулю (модель Хо-Ли) ${\displaystyle g(a\tau _{i})}$ стремится к 1, и получим следующую формулу

${\displaystyle v_{i}=\sigma \tau _{i}{\sqrt {(T_{i-1}-t)+{\frac {\tau _{i}}{3}}}}}$

В случае арифметического (азиатского) опциона (то есть бэкворд-лукинг опцион с арифметическим накоплением по овернайт ставке) используется та же величина ${\displaystyle v_{i}}$, что и в предыдущем случае, однако формула оценки опциона иная (типа Башелье, "нормальная" формула):

${\displaystyle \forall t<T_{i-1}\qquad V_{i}(t)=P(t,T_{i})[d_{i}N(d_{i})+\phi (d_{i}))]v_{i}}$

${\displaystyle d_{i}=z{\frac {[\ln(1+F_{i}(t)\tau _{i})-0.5v_{i}^{2}]-K\tau _{i}}{v_{i}}},}$

Здесь ${\displaystyle \ln(1+F_{i}(t)\tau _{i})}$ - это примерное значение арифметического накопления форвардных ставок (если овернайт ставки заменить непрерывными форвардными ставками, а суммирование - интегралом). А величина ${\displaystyle -0.5v_{i}^{2}}$ - это так называемая корректировка на выпуклость (convexity adjustment), связанная с тем, что математическое ожидание арифметического накопления в ${\displaystyle T_{i}-}$форвардной мере не в точности равно накопленным форвардным ставкам (разница в рамках модели Халла-Уайта определяется вышеуказанной величиной).

• Диффузионные модели динамики краткосрочной ставки
• Модель Васичека
• Модель Кокса-Ингерсола-Росса
• Модель HJM