Неравенство Коши для аналитической функции

Нера́венство Коши́^[1] — понятие комплексного анализа, раздела математики, неравенство в фиксированной точке комплексной плоскости для модуля производной аналитической функции или для модуля коэффициента разложения этой функции в степенной ряд или в ряд Лорана^[2][3][4][5].

Значение неравенств Коши, играющих существенную роль в теории функций комплексного переменного, состоит в том, что они оценивают производные аналитических функций, хотя и завышенные, используя лишь значение максимума модуля функции^[6].

Теорема (неравенство Коши). Если аналитическая функция в замкнутом круге радиуса ${\displaystyle R}$ (в открытом кольце) комплексной плоскости имеет максимум ${\displaystyle M}$ своего модуля на границе круга — окружности радиуса ${\displaystyle R}$ (соответственно на любой концентрической окружности радиуса ${\displaystyle R}$ открытого кольца), то модуль любой ${\displaystyle k}$-й производной не превышает числа ${\displaystyle {\frac {Mk!}{R^{k}}}}$ в центре круга (соответственно в любой точке указанной окружности), а ${\displaystyle k}$-й коэффициент ряда Тейлора функции (соответственно ряда Лорана функции) не превышает числа ${\displaystyle {\frac {M}{R^{k}}}}$ в центре круга (соответственно в любой точке указанной окружности)[2][3][4][5].

Замечание. Условие аналитичности функции в замкнутом круге можно заменит на более слабое условие аналитичности функции в открытом круге и её непрерывности в замкнутом круге (аналогичный случай более слабого условия возникает при формулировке леммы Чеботарёва)^[3].

Под неравенствами Коши могут понимать только неравенства Коши для производных аналитических функций^[7], поскольку любой сходящийся на комплексной плоскости ${\displaystyle \mathbb {C} }$ степенной ряд есть ряд Тейлора своей суммы^[8][9][10]:

${\displaystyle f(z)=\sum \limits _{k=0}^{\infty }c_{k}(z-z_{0})^{k},\quad }$ ${\displaystyle c_{k}={\frac {f^{(k)}(z_{0})}{k!}},\quad }$ ${\displaystyle k=0,\,1,\,2,\,\dots .}$

Поэтому неравенства Коши можно записать в виде следующей одной формулы^[10]:

${\displaystyle |c_{k}|={\frac {|f^{(k)}(z_{0})|}{k!}}\leqslant {\frac {M}{R^{k}}},\quad }$ ${\displaystyle k=0,\,1,\,2,\,\dots .}$

Под неравенствами Коши могут понимать только неравенства Коши для производных аналитических функций^[7], поскольку любой сходящийся на комплексной плоскости ${\displaystyle \mathbb {C} }$ степенной ряд есть ряд Тейлора своей суммы^[8]:

${\displaystyle f(z)=\sum \limits _{k=0}^{\infty }c_{k}(z-z_{0})^{k},\quad }$ ${\displaystyle c_{k}={\frac {f^{(k)}(z_{0})}{k!}},\quad }$ ${\displaystyle k=0,\,1,\,2,\,\dots .}$

Поэтому неравенства Коши можно записать в виде следующей одной формулы^[10]:

${\displaystyle |c_{k}|={\frac {|f^{(k)}(z_{0})|}{k!}}\leqslant {\frac {M}{R^{k}}},\quad }$ ${\displaystyle k=0,\,1,\,2,\,\dots .}$

Теорема (неравенства Коши для производных аналитических функций). Дано: аналитическая функция ${\displaystyle f(z)}$ в открытом круге ${\displaystyle |z-z_{0}|<R}$ (имеющем радиус ${\displaystyle R}$ и центр ${\displaystyle z_{0}}$) комплексной плоскости ${\displaystyle \mathbb {C} }$, непрерывная в замкнутом круге ${\displaystyle |z-z_{0}|\leqslant R}$. Доказать: все производные от функции ${\displaystyle f(z)}$ в точке ${\displaystyle z_{0}}$ удовлетворяют неравенствам ${\displaystyle |f^{(k)}(z_{0})|\leqslant {\frac {Mk!}{R^{k}}},\quad }$ ${\displaystyle k=1,\,2,\,\dots ,}$ где ${\displaystyle M=\max\{|f(z)|\colon \,|z-z_{0}|=R\}}$ — максимальное значение модуля функции ${\displaystyle f(z)}$ на окружности ${\displaystyle |z-z_{0}|=R}$[3][11][12][7].

Замечание. Условие аналитичности функции в отрытом круге и её непрерывности в замыкании круга можно заменит на более простое, но и более сильное условие аналитичности функции в замкнутом круге^[4].

Доказательство. По интегральной формуле Коши

${\displaystyle f^{(k)}(z_{0})={\frac {k!}{2\pi i}}\int \limits _{\Gamma }{\frac {f(w)dw}{(w-z_{0})^{k+1}}}}$,

где ${\displaystyle \Gamma }$ — окружность ${\displaystyle |z-z_{0}|=R}$. После оценки этого интеграла получается искомые неравенства Коши^[13][11][7]:

${\displaystyle |f^{(k)}(z_{0})|\leqslant {\frac {k!}{2\pi }}M{\frac {2\pi R}{R^{k+1}}}={\frac {Mk!}{R^{k}}}}$.

Замечание. Эта теорема говорит о том, что увеличение значений производных аналитической функции при ${\displaystyle k\to \infty }$ не произволен, поскольку связан с расстоянием до границы области аналитичности^[13].

Синоним: неравенства Коши для коэффициентов степенного ряда^[14].

Теорема 1 (неравенства Коши для коэффициентов ряда Тейлора[15]). Дано: аналитическая функция ${\displaystyle f(z)}$ в замкнутом круге ${\displaystyle {\bar {D}}\equiv \{|z-z_{0}|\leqslant R\}}$ комплексной плоскости ${\displaystyle \mathbb {C} }$, модуль которой не больше вещественного числа ${\displaystyle M}$ на окружности ${\displaystyle \Gamma \equiv \partial D}$. Доказать: коэффициенты ряда Тейлора функции ${\displaystyle f(z)}$ с центром в точке ${\displaystyle z_{0}}$ удовлетворяют следующим неравенствам[4][16][17][18][19]: ${\displaystyle |c_{k}|\leqslant {\frac {M}{R^{k}}},\quad }$ ${\displaystyle k=0,\,1,\,\dots .}$

Замечание. Условие аналитичности функции в замкнутом круге можно заменит на более слабое условие аналитичности функции в открытом круге и её непрерывности на границе круга^[3].

Доказательство. По интегральной формуле Коши

${\displaystyle c_{k}={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\Gamma }{\frac {f(w)dw}{(w-z_{0})^{k+1}}},\quad }$ ${\displaystyle k=0,\,1,\,\dots ,}$

откуда при ${\displaystyle |f(w)|\leqslant M}$ для всех точек ${\displaystyle w\in \Gamma }$ получаем следующие неравенства^{[4][20][17][18][19]}:

${\displaystyle |c_{k}|\leqslant {\frac {1}{2\pi }}{\frac {M}{R^{k+1}}}2\pi R={\frac {M}{R^{k}}}.}$ □

Альтернативная формулировка теоремы состоит в следующем^[7].

Теорема 2 (неравенства Коши для коэффициентов ряда Тейлора[15]). Дано: Пусть степенной ряд ${\displaystyle \sum _{k}c_{k}z^{k}}$ сходится абсолютно в окрестности некоторой точки ${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} }$. Доказать: для достаточно малого ${\displaystyle \epsilon >0}$ верно следующее неравенство[7]: ${\displaystyle |c_{k}|\leqslant {\frac {M_{\epsilon }}{(|z_{0}|+\epsilon )^{k}}},\quad }$ ${\displaystyle k=0,\,1,\,\dots .}$

Доказательство. Неравенство получается при использовании неравенств Коши для производных аналитических функций^[7]. □

Теорема (неравенства Коши для коэффициентов ряда Лорана). Дано: аналитическая функция ${\displaystyle f(z)}$ в открытом кольце ${\displaystyle V\equiv \{r<|z-z_{0}|<R\}}$ комплексной плоскости ${\displaystyle \mathbb {C} }$, модуль которой не больше вещественного числа ${\displaystyle M}$ на окружности ${\displaystyle \Gamma \equiv \{|z-z_{0}|=\rho \}}$, ${\displaystyle r<\rho <R}$. Доказать: коэффициенты ряда Лорана функции ${\displaystyle f(z)}$ в кольце ${\displaystyle V}$ удовлетворяют следующим неравенствам[5][21][22][23][24][25]: ${\displaystyle |c_{k}|\leqslant {\frac {M}{\rho ^{k}}},\quad }$ ${\displaystyle k=0,\,\pm 1,\,\pm 2,\,\dots .}$

Доказательство 1. По интегральной формуле Коши

${\displaystyle c_{k}={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\Gamma }{\frac {f(w)dw}{(w-z_{0})^{k+1}}},\quad }$ ${\displaystyle k=0,\,\pm 1,\,\pm 2,\,\dots .}$

откуда при ${\displaystyle |f(w)|\leqslant M}$ для всех точек ${\displaystyle w\in V}$ получаем следующие неравенства^{[15][22][23][24][26]}:

${\displaystyle |c_{k}|\leqslant {\frac {1}{2\pi }}{\frac {M}{\rho ^{k+1}}}2\pi \rho ={\frac {M}{\rho ^{k}}}.}$ □

Эту теорему можно также доказать напрямую, без использования интегральной формулы Коши^[27].

Значение неравенств Коши состоит в том, что они оценивают производные аналитических функций, хотя и завышенные, используя лишь значение максимума модуля функции ^[28].

Оценка, даваемые неравенствами Коши

${\displaystyle |f^{(k)}(z_{0})|\leqslant {\frac {M(R)k!}{R^{k}}},\quad }$ ${\displaystyle k=1,\,2,\,\dots ,}$

при заданных числах ${\displaystyle k}$ и ${\displaystyle z_{0}}$, зависит от значения радиуса ${\displaystyle R}$, который произволен в пределах ${\displaystyle 0<R<d(z_{0},\,\partial D)}$, где ${\displaystyle d(z_{0},\,\partial D)}$ — расстояние от точки комплексной плоскости ${\displaystyle z_{0}}$ до границы ${\displaystyle \partial D}$ области ${\displaystyle D}$ аналитичности функции ${\displaystyle f(z)}$^[29].

Для наиболее точной оценки находят минимум функции ${\displaystyle {\frac {M(R)}{R^{k}}}}$ и выбирают именно такой радиус ${\displaystyle R}$, при котором функция ${\displaystyle {\frac {M(R)}{R^{k}}}}$ достигает своего минимума^[29].

Пример 1. Пусть: 1) область ${\displaystyle D}$ аналитичности функции ${\displaystyle f(z)}$ — это единичный открытый круг ${\displaystyle |z|<1}$; 2) точка комплексной плоскости ${\displaystyle z_{0}}$, где осуществляется оценка производных, — это центр ${\displaystyle z=0}$ этого круга; 3) функция ${\displaystyle M(R)}$ отвечает следующему неравенству^[29]:

${\displaystyle M(R)\leqslant {\frac {1}{1-R}}}$.

Тогда из неравенства

${\displaystyle |f^{(k)}(z_{0})|\leqslant {\frac {M(R)k!}{R^{k}}},\quad }$ ${\displaystyle k=1,\,2,\,\dots ,}$

получаем следующее более конкретное неравенство^[29]:

${\displaystyle |f^{(k)}(0)|\leqslant {\frac {k!}{(1-R)R^{k}}},\quad }$ ${\displaystyle 0<R<1.}$

Для получения самой лучшей оценки найдём минимум функции ${\displaystyle {\frac {1}{(1-R)R^{k}}}}$, другими словами, найдём максимум функции ${\displaystyle (1-R)R^{k}}$ в интервале ${\displaystyle (0,\,1)}$. Используя стандартные правила дифференциального исчисления:

${\displaystyle {\frac {\partial (1-R)R^{k}}{\partial R}}=-R^{k}+(1-R)kR^{k-1}=R^{k-1}(k-R(k+1))}$,

получаем, что искомый экстремум достигается при радиусе ${\displaystyle R={\frac {k}{k+1}}}$ и равен следующей величине^[28]:

${\displaystyle (k+1)\left(1+{\frac {1}{k}}\right)^{k}<e(k+1).}$

Окончательно получаем^[28]:

${\displaystyle |f^{(k)}(0)|\leqslant e(k+1)!.}$

Пример 2. Рассмотрим частный случай примера 1, когда исходная функция имеет следующий вид^[28]:

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{1-z}}}$.

Эта функция аналитическая в единичном круге, причём для этой функции ${\displaystyle M(R)={\frac {1}{1-R}}}$^[28].

В итоге непосредственные вычисления дают следующие равенства^[28]:

${\displaystyle f^{(k)}(z)={\frac {k!}{(1-z)^{k+1}}},\quad f^{(k)}(0)=k!.}$

1. Ряд Тейлора. Рассмотрим некоторое усиление неравенств Коши, сначала для ряда Тейлора^[26].

Теорема 1 (интегральное среднее от квадрата модуля аналитической функции). Дано: Ряд Тейлора аналитической функции ${\displaystyle f(z)=\sum \limits _{k=0}^{\infty }c_{k}(z-z_{0})^{k}}$, сходящийся в открытом круге ${\displaystyle |z-z_{0}|<R}$. Доказать: для любых радиусов ${\displaystyle r\in [0,\,R)}$ интегральное среднее от квадрата модуля функции ${\displaystyle f(z)}$ по окружности ${\displaystyle |z-z_{0}|=r}$ радиуса ${\displaystyle r}$ равно следующей сумме квадратов модулей членов ряда Тейлора на данной окружности[30]: ${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }|f(z_{0}+re^{i\theta })|^{2}d\theta =\sum \limits _{k=0}^{\infty }|c_{k}|^{2}r^{2k}}$.

Доказательство. Представим ${\displaystyle |f(z)|^{2}}$ в следующем виде^[30]:

${\displaystyle |f(z)|^{2}=f(z){\overline {f(z)}}=\left(\sum \limits _{k_{1}=0}^{\infty }c_{k_{1}}(z-z_{0})^{k_{1}}\right)\left(\sum \limits _{k_{2}=0}^{\infty }{\overline {c_{k_{2}}}}({\overline {z-z_{0}}})^{k_{2}}\right)}$.

Запишем иначе разность ${\displaystyle z-z_{0}=re^{i\theta }}$, получим^[30]:

${\displaystyle |f(z_{0}+re^{i\theta })|^{2}=\left(\sum \limits _{k_{1}=0}^{\infty }c_{k_{1}}(re^{i\theta })^{k_{1}}\right)\left(\sum \limits _{k_{2}=0}^{\infty }{\overline {c_{k_{2}}}}({\overline {re^{i\theta }}})^{k_{2}}\right)}$.

Перемножим ряды в правой части равенства и проинтегрируем равенство почленно по окружности при ${\displaystyle \theta \in [0,\,2\pi )}$^[30]:

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }|f(z_{0}+re^{i\theta })|^{2}d\theta ={\frac {1}{2\pi }}\sum \limits _{k=0}^{\infty }\int \limits _{0}^{2\pi }c_{k}{\overline {c_{k}}}(re^{i\theta })^{k}(re^{-i\theta })^{k}d\theta +{}}$

${\displaystyle {}+{\frac {1}{2\pi }}\sum \limits _{k_{1}=0}^{\infty }\sum \limits _{k_{2}=k_{1}+1}^{\infty }r^{k_{1}+k_{2}}\int \limits _{0}^{2\pi }(c_{k_{1}}{\overline {c_{k_{2}}}}(e^{-i\theta })^{k_{2}-k_{1}}+{\overline {c_{k_{1}}}}c_{k_{2}}(e^{i\theta })^{k_{2}-k_{1}})d\theta +{}}$

${\displaystyle =\sum \limits _{k=0}^{\infty }|c_{k}|^{2}r^{2k}}$.

Поскольку, по интегральной теореме Коши, интегралы по окружности от аналитических членов ряда с ${\displaystyle k_{1}\neq k_{2}}$ равны нулю, окончательно имеем^[30]:

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }|f(z_{0}+re^{i\theta })|^{2}d\theta =\sum \limits _{k=0}^{\infty }|c_{k}|^{2}r^{2k}}$. □

Теорема 2 (усиление неравенств Коши). Дано: условие предыдущей теоремы. Доказать: верно следующее неравенство[30]: ${\displaystyle \sum \limits _{k=0}^{\infty }|c_{k}|^{2}r^{2k}\leqslant M(r)^{2},\quad }$ ${\displaystyle M(r)=\max _{|z-z_{0}|=r}|f(z)|.}$

Доказательство. По предыдущей теореме получаем^[30]:

${\displaystyle \sum \limits _{k=0}^{\infty }|c_{k}|^{2}r^{2k}={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }|f(z_{0}+re^{i\theta })|^{2}d\theta \leqslant {\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }M(r)^{2}d\theta =M(r)^{2}}$. □

Теорема 3 (равенство Коши). Дано: Ряд Тейлора аналитической функции ${\displaystyle f(z)=\sum \limits _{k=0}^{\infty }c_{k}(z-z_{0})^{k}}$, сходящийся в открытом круге ${\displaystyle |z-z_{0}|<R}$, причём хотя бы одно из неравенств Коши обращается в равенство, то есть существуют такие ${\displaystyle k_{0}\in \mathbb {N} }$ и ${\displaystyle r\in [0,\,R)}$, что ${\displaystyle |c_{k_{0}}|r^{k_{0}}=M(r)}$. Доказать: ${\displaystyle f(z)=C(z-z_{0})^{k_{0}}}$, где ${\displaystyle C\in \mathbb {C} }$ — некоторая константа[30].

Доказательство. По усиленному неравенству Коши для указанного ${\displaystyle r}$

${\displaystyle M(r)^{2}+\sum _{\begin{smallmatrix}k=0\\k\neq k_{0}\end{smallmatrix}}^{\infty }|c_{k}|^{2}r^{2k}\leqslant M(r)^{2}}$,

следовательно,

${\displaystyle c_{k}=0,\quad }$ ${\displaystyle k\in \mathbb {N} ,\quad }$ ${\displaystyle k\neq k_{0},}$

поэтому

${\displaystyle f(z)=C(z-z_{0})^{k_{0}}}$,

где ${\displaystyle |C|r^{k_{0}}=M(r)}$^[30]. □

Следствие. Сразу два разные неравенства Коши суть равенства тогда и только тогда, когда ${\displaystyle f(z)\equiv 0}$^[30].

2. Ряд Лорана. Теперь приведём усиление неравенств Коши для ряда Лорана^[26].

Теорема 4 (интегральное среднее от квадрата модуля аналитической функции). Дано: Ряд Лорана аналитической функции ${\displaystyle f(z)=\sum \limits _{-\infty }^{\infty }c_{k}(z-z_{0})^{k}}$, сходящийся в открытом кольце ${\displaystyle r<|z-z_{0}|<R}$. Доказать: для любых радиусов ${\displaystyle \rho \in (r,\,R)}$ интегральное среднее от квадрата модуля функции ${\displaystyle f(z)}$ по окружности ${\displaystyle |z-z_{0}|=\rho }$ радиуса ${\displaystyle \rho }$ равно следующей сумме квадратов модулей членов ряда Лорана на данной окружности[26]: ${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }|f(z_{0}+\rho e^{i\theta })|^{2}d\theta =\sum \limits _{-\infty }^{\infty }|c_{k}|^{2}\rho ^{2k}}$.

Доказательство. Доказательство совпадает с доказательством аналогичной теоремы для ряда Тейлора^[26].

Теорема 5 (усиление неравенств Коши). Дано: условие предыдущей теоремы. Доказать: верно следующее неравенство[26]: ${\displaystyle \sum \limits _{-\infty }^{\infty }|c_{k}|^{2}\rho ^{2k}\leqslant M(r)^{2},\quad }$ ${\displaystyle M(r)=\max _{|z-z_{0}|=\rho }|f(z)|.}$

Доказательство. Доказательство совпадает с доказательством аналогичной теоремы для ряда Тейлора^[26].

Теорема 6 (равенство Коши). Дано: Ряд Лорана аналитической функции ${\displaystyle f(z)=\sum \limits _{-\infty }^{\infty }c_{k}(z-z_{0})^{k}}$, сходящийся в открытом кольце ${\displaystyle r<|z-z_{0}|<R}$, причём хотя бы одно из неравенств Коши обращается в равенство, то есть существуют такие ${\displaystyle k_{0}\in \mathbb {Z} }$ и ${\displaystyle \rho \in (r,\,R)}$, что ${\displaystyle |c_{k_{0}}|\rho ^{k_{0}}=M(r)}$. Доказать: ${\displaystyle f(z)=C(z-z_{0})^{k_{0}}}$, где ${\displaystyle C\in \mathbb {C} }$ — некоторая константа[26].

Доказательство. Доказательство совпадает с доказательством аналогичной теоремы для ряда Тейлора^[26].

Теорема (модификация неравенств Коши). Дано: аналитическая функция ${\displaystyle f(z)=u+iv}$ в открытом круге ${\displaystyle |z|<R'}$ комплексной плоскости ${\displaystyle \mathbb {C} }$, а действительная часть этой функции ${\displaystyle u\leqslant A}$ на окружности ${\displaystyle \{|z|=R\}}$, ${\displaystyle R<R'}$. Доказать: коэффициенты ряда Тейлора функции ${\displaystyle f(z)}$ в открытом круге ${\displaystyle |z|<R}$ удовлетворяют следующим неравенствам[31]: ${\displaystyle |c_{k}|\leqslant {\frac {2A}{R^{k}}}-{\frac {2u(0)}{R^{k}}},\quad }$ ${\displaystyle k=0,\,1,\,2,\,\dots .}$

Значение неравенств Коши состоит в том, что они оценивают производные аналитических функций, хотя и завышенные, используя лишь значение максимума модуля функции ^[28].

Неравенства Коши непосредственно приводят к следующей теореме^[2][28].

Теорема (неравенство Коши — Адамара). Дано: аналитическая функция ${\displaystyle f(z)}$ в открытом круге ${\displaystyle |z-z_{0}|<R}$ (имеющем радиус ${\displaystyle R}$ и центр ${\displaystyle z_{0}}$) комплексной плоскости ${\displaystyle \mathbb {C} }$, непрерывная в замкнутом круге ${\displaystyle |z-z_{0}|\leqslant R}$. Доказать: неравенство для предела ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\sup {\sqrt[{k}]{\frac {f^{(k)}(z_{0})}{k!}}}\leqslant {\frac {1}{d(z_{0},\,\partial D)}}}$ где ${\displaystyle d(z_{0},\,\partial D)}$ — расстояние от точки комплексной плоскости ${\displaystyle z_{0}}$ до границы ${\displaystyle \partial D}$ области ${\displaystyle D}$ аналитичности функции ${\displaystyle f(z)}$[2][28].

Доказательство. Доказательство основано на неравенствах Коши для производных аналитических функций. Зафиксируем в этих неравенствах радиус ${\displaystyle R<d(z_{0},\,\partial D)}$ и извлечём из обеих частей неравенств корень степени ${\displaystyle k}$^[28]:

${\displaystyle {\sqrt[{k}]{\frac {|f^{(k)}(z_{0})|}{k!}}}\leqslant {\frac {\sqrt[{k}]{M}}{R}},\quad }$ ${\displaystyle k=1,\,2,\,\dots .}$

Поскольку ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\sqrt[{k}]{M}}=1}$, то получаем следующие неравенства для верхних пределов^[28]:

${\displaystyle {\overline {\lim _{k\to \infty }}}{\sqrt[{k}]{\frac {|f^{(k)}(z_{0})|}{k!}}}\leqslant {\frac {1}{R}}}$.

Учитывая, что в последних неравенствах радиус ${\displaystyle R<d(z_{0},\,\partial D)}$ — произвольное положительное число, то перейдём к пределу при ${\displaystyle R\to d(z_{0},\,\partial D)}$, окончательно имеем^[28]:

${\displaystyle {\overline {\lim _{k\to \infty }}}{\sqrt[{k}]{\frac {|f^{(k)}(z_{0})|}{k!}}}\leqslant {\frac {1}{d(z_{0},\,\partial D)}}}$. □

Неравенство Коши — Адамара говорит о том, что величина оценки

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\sup {\sqrt[{k}]{\frac {f^{(k)}(z_{0})}{k!}}}}$,

которая зависит от значений производных аналитических функций в некоторой точке ${\displaystyle z_{0}\in D}$, связана обратной зависимостью с расстоянием точки ${\displaystyle z_{0}}$ до границы области, а именно: эта величина оценки не может быть большой при большом расстоянии до границы, там, где граница области аналитически далека от точки ${\displaystyle z_{0}}$^[32].

Следствие. Если функция ${\displaystyle f(z)}$ целая, то в произвольной точке ${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} }$ верно следующее равенство^[2][33]:

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\sup {\sqrt[{k}]{\frac {|f^{(k)}(z_{0})|}{k!}}}=0}$.

Доказательство. Для целых функций, аналитических во всей комплексной плоскости, единственная граничная точка области находится в бесконечности, поэтому для любой точки ${\displaystyle z_{0}}$ плоскости расстояние ${\displaystyle d(z_{0},\,\partial D)=\infty }$, то есть ${\displaystyle {\frac {1}{d(z_{0},\,\partial D)}}=0}$^[33]. □

Пример. Рассмотрим функцию ${\displaystyle f(z)=\exp z}$. При любом ${\displaystyle k}$ имеем: ${\displaystyle f^{(k)}(z)=\exp z}$, поэтому ${\displaystyle |f^{(k)}(z)|=|\exp z|=e^{x}}$. Для целой части ${\displaystyle m=\left[{\frac {k}{2}}\right]}$ получаем^[33]:

${\displaystyle k!\geqslant k(k-1)\dots (k-m+1)>m^{k-m}}$,

${\displaystyle {\sqrt[{k}]{k!}}>m^{1-{\frac {m}{k}}}\geqslant {\sqrt {m}}}$,

следовательно,

${\displaystyle {\sqrt[{k}]{\frac {|f^{(k)}(z_{0})|}{k!}}}<{\frac {e^{\frac {x}{k}}}{\sqrt {\left[{\frac {k}{2}}\right]}}}\to 0}$ при ${\displaystyle k\to \infty }$.

Неравенства Коши для комплексного пространства доказываются аналогично неравенствам Коши для комплексной плоскости. Сформулируем одну из теорем неравенств Коши — о неравенствах Коши для производных аналитических функций — для случая нескольких комплексных переменных^{[34][2][35][36][37][38][39][10][7]}.

Теорема (неравенства Коши для производных аналитических функций. Дано: аналитическая функция ${\displaystyle f(z)}$ в открытом поликруге векторного радиуса ${\displaystyle \Delta ^{n}(z_{0},\,\mathbf {r} )}$ комплексного пространства ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, непрерывная в замкнутом поликруге векторного радиуса ${\displaystyle {\bar {\Delta }}^{n}(z_{0},\,\mathbf {r} )}$, модуль которой не больше вещественного числа ${\displaystyle M}$ на остове поликруга ${\displaystyle \Gamma \equiv \partial \Delta ^{n}(z_{0},\,\mathbf {r} )}$. Доказать: все производные от функции ${\displaystyle f(z)}$ в точке ${\displaystyle z_{0}}$ удовлетворяют следующим неравенствам[34][2][35][36][38][39][10][7]: ${\displaystyle \left|{\frac {\partial ^{k_{1}+\cdots +k_{n}}f(z_{0})}{\partial z_{1}^{k_{1}}\dots z_{n}^{k_{n}}}}\right|\leqslant k_{1}!\dots k_{n}!{\frac {M}{r_{1}^{k_{1}}\cdots r_{n}^{k_{n}}}},\quad }$ ${\displaystyle k_{1},\,\dots ,\,k_{n}=0,\,1,\,\dots .}$

Неравенства Коши можно записать в виде следующей одной формулы^[10]:

${\displaystyle |c_{k_{1},\,\dots ,\,k_{n}}|={\frac {1}{k_{1}!\dots k_{n}!}}\left|{\frac {\partial ^{k_{1}+\cdots +k_{n}}f(z_{0})}{\partial z_{1}^{k_{1}}\dots z_{n}^{k_{n}}}}\right|\leqslant {\frac {M}{r_{1}^{k_{1}}\cdots r_{n}^{k_{n}}}}}$.

• Белошапка В. К. Курс лекций по комплексному анализу. М., 2005. 31 с., ил.
• Бохнер С., Мартин У. Т.^[англ.] Функции многих комплексных переменных / Пер. с англ. Б. А. Фукса. М.: «Издательство иностранной литературы», 1951. 300 с.: ил. [Salomon Bochner, William Ted Martin, Several Complex Variables. Princeton, 1948.]
• Гурвиц А., Курант Р. Теория функций / Пер. М. А. Евграфова. М.: «Наука», 1968. 648 с.: ил. [Adolf Hurwitz. Allhemeine Funktionentheorie und elliptische Funktionen. R. Courant. Geometrische Funktionentheorie. Berlin · Göttingen · Heidelberg · New York: Springer-Verlag, 1964.]
• Домрин А. В., Сергеев А. Г. Лекции по комплексному анализу. Первое полугодие. М.: МИАН, 2004. 175 с.: ил. ISBN 5-98419-007-9 (ч. I). ISBN 5-98419-006-0.
• Картан, А. Элементарна теория аналитических функций одного и нескольких комплексных переменных / Пер. под ред. Б. В. Шабата. М.: «Издательство иностранной литературы», 1963. 296 с.: ил.
• Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. Изд. 4-е, испр. М.: «Наука», 1973. 736 с., 231 рис.
• Мальгранж Б. Лекции по теории функций нескольких комплексных переменных. М.: «Наука», 1969. 119 с.: ил.
• Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Том I. Начала теории. Издание второе. М.: «Наука», 1967. 486 с.: ил.
• Половинкин Е. С. Курс лекций по теории функций комплексного переменного. М.: МФТИ, 1999. 253 с.: ил. ISBN 5-7417-0129-9.
• Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного : учебник. 15-е изд., стер. СПб.: Лань, 2009. 432 с.: ил. ISBN 978-5-8114-0913-6.
• Сидоров Ю. В., Федорюк М. В., Шабунин М. И. Лекции по теории функций комплексного переменного: Учеб. для вузов. 3-е изд., испр. М.: «Наука», 1989. 477 с. ISBN 5-02-013954-8.
• Соломенцев Е. Д. Коши неравенство // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 3 Коо—Од. М.: «Советская Энциклопедия», 1982. 1184 стб., ил. Стб. 59.
• Соломенцев Е. Д. Функции комплексного переменного и их применения: Учеб. пособие для студентов вузов. М.: «Высшая школа», 1988. 167 с., ил. ISBN 5-06-003145-6.
• Стоилов С. Теория функций комплексного переменного. Том I. Основные понятия и принципы: Пер. с румынского И. Берштейна. Ред. Е. Д. Соломенцев. М.: «Издательство иностранной литературы», 1962. 364 с., ил. [Stoilow S. Teoria Funcțiilor de o Variabilǎ Complexǎ, vol. I Noțiuni și Principii Dundamentale. Editura Academiei Republicii Populare Române, 1954.]
• Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа. Часть 1. Основные операции анализа. 2-е изд. / Пер. с англ. под ред. Ф. В. Широкова. М.: Физматлит, 1963. 343 с.: ил. [Whittaker E. T., Watson G. N. A course of modern analysis. 4th edition. Cambridge: At the University Press, 1927.]
• Фукс Б. А. Теория аналитических функций многих комплексных переменных: 2-е изд., перераб. и доп. М.: Физматлит, 1962. 419 с.
• Фукс Б. А., Шабат Б. В. Функции комплексного переменного и некоторые приложения: 3-е изд. М.: «Наука», 1964. 387 с. с илл.
• Хёрмандер, Ларс. Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных / Пер. с англ. Е. М. Чирки, под ред. Б. В. Шабата. М.: «Мир», 1968. 279 с.
• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. 1, изд. 2-е, перераб. и доп. М.: «Наука», 1976. 320 с.: ил.
• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. II, изд. 2-е, перераб. и доп. М.: «Наука», 1976. 400 с.: ил.
• Эрве М.^[фр.] Функции многих комплексных переменных. Локальная теория. Пер. с англ. Б. А. Фукса. М.: «Мир», 1965. 165 с. [Hervé M. Several complex variables. Local theory. Bombay: Oxford University Press, 1963.]
• Jaap Korevaar^[англ.], Jan Wiegerinck. Several Complex Variables. Amsterdam: University of Amsterdam, November 18, 2011. 260 p.
• Steven G. Krantz^[англ.]. Function Theory of Several Complex Variables: Second edition. Providence, Rhode Island: AMS Chelsea Publishing^[англ.], 1951. 564 p. 1992 held by the American Mathematical Society. Printed with corrections, 2001.

Эта статья выставлена на рецензию. Пожалуйста, выскажите своё мнение о ней на подстранице рецензии.