Неравенство треугольникаНера́венство треуго́льника в геометрии, функциональном анализе и смежных дисциплинах — это одно из интуитивных свойств расстояния. Оно утверждает, что длина любой стороны треугольника всегда не превосходит сумму длин двух его других сторон[1] (или равносильная формулировка — длина наибольшей стороны не больше суммы длин двух других сторон[2]). Евклидова геометрия![]() Неравенство выполняется в любом треугольнике [3]. Причём равенство достигается только тогда, когда треугольник вырожден, и точка лежит на отрезке . Евклид в Началах доказывает неравенство треугольника следующим образом. Сначала доказывается теорема о том, что внешний угол треугольника больше внутреннего угла, с ним не смежного. Из неё выводится теорема о том, что против большей стороны треугольника лежит больший внутренний угол. Далее, методом от противного доказывается теорема о том, что против большего внутреннего угла треугольника лежит большая сторона. А из этой теоремы выводится неравенство треугольника. Нормированное пространствоПусть — нормированное векторное пространство, где — произвольное множество, а — определённая на норма. Тогда по определению последней справедливо: Гильбертово пространствоВ гильбертовом пространстве, неравенство треугольника является следствием неравенства Коши — Буняковского. Метрическое пространствоПусть — метрическое пространство, где — произвольное множество, а — определённая на метрика. Тогда по определению последней Вариации и обобщенияОбратное неравенство треугольникаСледствием неравенства треугольника в нормированном и метрическом пространствах являются следующие неравенства: Неравенство треугольника для трёхгранного углаКаждый плоский угол выпуклого трёхгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов. Произвольное число точекОбозначим расстояние между точками и . Тогда имеет место следующее неравенство: . Оно получается последовательным применением неравенства треугольника для трех точек: [4] См. такжеПримечания
Литература
|
Portal di Ensiklopedia Dunia