Обсуждение:Тригонометрические функции/Архив/2012

Неясно, зачем чесать левое ухо правой рукой и использовать угол бета+гамма-альфа. Причём безо всякого объяснения. Я вывел те же формулы без использования такого угла. И вообще, почему в одних местах есть пояснения о том, как осуществлять вывод формул, а в других нет. Неужели это авторами статьи считается менее вжным и интересным? Я лично думаю иначе и полагаю, что не повредило бы. — Эта реплика добавлена с IP 78.56.193.77 (о)

Как я понимаю, вопросы к этому блоку формул:

${\displaystyle \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma ={\frac {\sin(\alpha +\beta -\gamma )+\sin(\beta +\gamma -\alpha )+\sin(\alpha -\beta +\gamma )-\sin(\alpha +\beta +\gamma )}{4}},}$

${\displaystyle \sin \alpha \sin \beta \cos \gamma ={\frac {-\cos(\alpha +\beta -\gamma )+\cos(\beta +\gamma -\alpha )+\cos(\alpha -\beta +\gamma )-\cos(\alpha +\beta +\gamma )}{4}},}$

${\displaystyle \sin \alpha \cos \beta \cos \gamma ={\frac {\sin(\alpha +\beta -\gamma )-\sin(\beta +\gamma -\alpha )+\sin(\alpha -\beta +\gamma )-\sin(\alpha +\beta +\gamma )}{4}},}$

${\displaystyle \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma ={\frac {\cos(\alpha +\beta -\gamma )+\cos(\beta +\gamma -\alpha )+\cos(\alpha -\beta +\gamma )+\cos(\alpha +\beta +\gamma )}{4}}.}$

Но что с ними не так, лично я из поста не понял. В чём собственно проблема и что вы предлагаете? --Pintg 18:25, 5 октября 2012 (UTC)[ответить]

1) Да, речь об этих формулах. Вот мой вариант и при том все сходится — можете проверить посчитав выражения для косинусов сумм четырех углов в представленных комбинациях знакочередования (в скобках).

${\displaystyle \displaystyle \sin \alpha \cos \beta \cos \gamma ={\frac {\sin(\alpha +\beta +\gamma )+\sin(\alpha +\beta -\gamma )+\sin(\alpha -\beta -\gamma )+\sin(\alpha -\beta +\gamma )}{4}}}$

${\displaystyle \displaystyle \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma ={\frac {\cos(\alpha +\beta +\gamma )+\cos(\alpha +\beta -\gamma )+\cos(\alpha -\beta -\gamma )+\cos(\alpha -\beta +\gamma )}{4}}}$

${\displaystyle \displaystyle \sin \alpha \sin \beta \cos \gamma ={\frac {\cos(\alpha -\beta +\gamma )+\cos(\alpha -\beta -\gamma )-\cos(\alpha +\beta -\gamma )-\cos(\alpha +\beta +\gamma )}{4}}}$

${\displaystyle \displaystyle \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma ={\frac {\sin(\alpha -\beta +\gamma )-\sin(\alpha -\beta -\gamma )+\sin(\alpha +\beta -\gamma )-\sin(\alpha +\beta +\gamma )}{4}}}$

Как мне кажется использование именно такого знакочередования углов в скобках наиболее мотивированно и может быть более понятным для учащихся, студентов профессионалов и неспециалистов. Мало того, то, что и этот вариант имеет право на существование и правилен, показывает тот факт, что если вы положите в формулах для произведения синусов и косинусов все углы равными альфа (то есть друг другу), то вы в точности придете к формулам синуса в кубе и косинуса в кубе, которые представлены у Вас. Аналогично с произведением косинусов четырех углов черех сумму

${\displaystyle \displaystyle \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma \cos \delta ={\frac {\cos(\alpha -\beta -\gamma -\delta )+\cos(\alpha -\beta -\gamma +\delta )+\cos(\alpha +\beta -\gamma +\delta )+\cos(\alpha +\beta +\gamma +\delta )+\cos(\alpha -\beta +\gamma +\delta )+\cos(\alpha +\beta +\gamma -\delta )+\cos(\alpha -\beta +\gamma -\delta )+\cos(\alpha +\beta -\gamma -\delta )}{8}}}$

Положив в них все углы равными друг другу мы в точности придем к формуле косинуса в четвертой степени представленной у Вас. Но что касается синуса в четвертой, то у меня возникла проблема с выражением произведения четырех синусов через сумму, в связи с чем у меня к Вам просьба: не могли бы Вы пошагово выложить здесь, в обсуждении, всю раскладку процесса выведения данной формулы?

2) Вся статья носит слишком формальный характер. Формат Википедии позволяет существенно расширить ее и дополнить все представленные здесь формулы их подробными выведениями, начиная с основ. В противном случае, чем эта и другие им подобные статьи отличаются от справочников, где можно найти такой же список формул?

3)" Для функций от аргумента ${\displaystyle x}$ существует представление:

${\displaystyle A\sin \ x+B\cos \ x={\sqrt {A^{2}+B^{2}}}\sin(x+\phi ),}$

где угол ${\displaystyle \phi }$ находится из соотношений:

${\displaystyle \sin \phi ={\frac {B}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}},\cos \phi ={\frac {A}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}.}$" — а это вообще относится к теме решений тригонометрических уравнений. В данном случае речь идет об уравнении ${\displaystyle A\sin \ x+B\cos \ x=C}$

с помощью введения вспомогательного аргумента — угла прямоугольного треугольника и представлении исходного уравнения в виде синуса суммы (или косинуса разности). Кроме того, даже, если на это не обращать внимания, мне не понятен смысл именно такого представления. Алгебраически все грамотно, но какой в нем прок?

4) Следующий мой вопрос касается вот этих тождеств из тех, что были выведены для синуса и косинуса двойного аргумента

${\displaystyle \sin 2\alpha ={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{1+\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }},}$

${\displaystyle \cos 2\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha +1}},}$

Здесь явно использована формула выражения тригонометрических функций через котангенс половинного угла, подобно тому, как в предыдущих была использованы формулы выражения их через тангенс половинного угла. Вопрос: почему в секции про однопараметрическое представление ф-ции были выражены через тангенс половинного угла, а вот через котангенс половинного - нет?

P.S. Не понимаю, почему не выводится окрашенное красным математическое выражение, что за ремарка "неясен лексический смысл"?. Исправьте, пожалуйста. 178.236.197.137 18:15, 10 октября 2012 (UTC)18:24, 10 октября 2012 (UTC)~ 81.7.104.121 16:31, 11 октября 2012 (UTC)[ответить]

• Вместо латиницы была кирилица. --Pintg 11:37, 12 октября 2012 (UTC)[ответить]

1) На первый взгляд у вас одни и те же формулы, но сами формулы и слагаемые приведены в различном порядке. Лучше привести его в таком виде, как оно приводится в справочниках. Желательно с ссылкой на конкретный справочник.

2) Просто ни у кого руки не дошли. Вы сами можете это сделать. Да и сылки на доступные он-лайн справочники будут не лишними. Если решили плотно заняться этим вопросом, то я бы вам рекомендовал зарегистрироваться, тогда с вами будет проще работать другим редакторам.

3) Можно добавить в статью Тригонометрические уравнения, но из этой статьи я бы их пока не удалял.

4) Не понял, что вы собственно предлагаете изменить. --Pintg 11:37, 12 октября 2012 (UTC)[ответить]

К сожалению, у меня нет времени для редактирования статей Википедии, но так как я в настоящее время заинтересовался тригонометрией и мне попалась на глаза эта статья, то прочитав ее, у меня возникли кое-какие вопросы и замечания.

1) Вот источника привести не могу, так как, как Вы уже могли понять, этим источником являюсь я. Что до справочников и прочего, то как раз в том и дело, что там просто выкладываются формулы, но не дается их подробный вывод, по сути предлагается механическое заучивание. А я против этого, кроме того меня всегда интересовал процесс появления тех или иных формул - начиная с простейших и заканчивая сложными. И именно выведение формул есть наилучший способ их не только запоминания, но и - самое главное- досконального понимания, что в математике важнее всего.В данном случае мое личное понимание для меня оказалось выше того, что излагается в справочниках, не ясен смысл записи одного из углов в виде ${\displaystyle (\beta +\gamma -\alpha )}$, как я уже продемонстрировал, вполне можно обойтись тем вариантом, к-ры записал я - он правилен и корректен и проверяется через синус и косинус в кубе и в четвертой степени. А каком источнике Вы нашли эти формулы в таком виде и есть ли ТАМ подробный их вывод?

1.1 Так Вы можете помочь мне вывести формулу выражения произведения синусов четырех углов через сумму, здесь в обсуждении (дело не только в статье)?

1.2 Предложение: поместить мой вариант четырех формул в качестве одного из альтернативных вместе с оригинальным. Возможно ли это?

3) и 4) Я не предлагаю ничего удалять. Я предлагаю добавить представление тригонометрических ф-ций через котангенс половинного аргумента вместе с процессом их вывода, алгоритм оперций тот же, что и для тангенса половинного аргумента. При необходимости могу дать ссылку на интернетовские источники для выведения формул тригонометрических ф-ций через тангенс половинного, косинуса\синуса суммы\разности и всех остальных тождеств и формул тригонометрии.212.122.74.153 14:47, 12 октября 2012 (UTC)[ответить]

Приведённые формулы произведений синусов-косиносов даны в редакции справочника Двайта (указан в разделе «Литература», стр. 71, формулы 402.03—402.06) с той лишь разницей, что в справочнике вместо греч. букв даны А, В и С, а четвёрка там перенесена в левую часть, т.е. ${\displaystyle 4\,\sin A\,\sin B\,\sin C=\dots }$ ну и т. д. Но я, как и Pintg, пока не понимаю преимуществ вашего варианта. А вывод этих формул вам никто не запрещает добавить в статью. Обычно вывод делаётся в скрываемых блоках, см. например, Признаки делимости#Общие принципы построения, в конце этого раздела. Тогда глубоко интересующийся читатель отроет блок, а тем, кому требуется только сама формула, раскрывать его не будет. А если информации наберётся черезчур много, можно будет вынести её в отдельную статью про формулы произведений синусов-косиносов. -- Sergey kudryavtsev 08:44, 14 октября 2012 (UTC)[ответить]

А вывод как вы делали? Я, помниться, делал так: ${\displaystyle \left(\sin \alpha \sin \beta \right)\sin \gamma ={\frac {\cos(\alpha -\beta )\sin \gamma -\cos(\alpha +\beta )\sin \gamma }{2}}=\dots }$, ну а дальше применял формулу произведения синуса на косинус. В результате получалась формула для ${\displaystyle \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma }$. Таким манером можно получить формулы для произведений бо́льшего числа множителей. Вы также делали? -- Sergey kudryavtsev 09:18, 14 октября 2012 (UTC)[ответить]

Что касается моего варианта, то как я указывал, там более понятен принцип выбора комбинаций знаков при углах в скобках: только и делов - перебирать все возможные комбинации сочетаний знако при углах не меняя их буквенного порядка в соответствии с греческим алфавитом - сначала альфа, затем бета, гамма и так далее. Это для меня более понятно, нежели неизвестно по какой причине появившаяся инверсия бета плюс гамма МИНУС альфа. Ну зачем тут эта "минус альфа"? Если бы этот Двайт объяснил бы это, то тогда все было бы в порядке. К тому же возникает вопрос, а сколько у нас в стране человек держали в руках этот справочник и насколько вид приводимых там тождеств совпадает с тем, которые известны по отечественным справочникам, учебникам и пособиям?

А вывод я делал по образу и подобию вывода для выражения произведения двух функций через сумму,то есть старался подметить основные моменты уж не знаю насколько точно у меня это вышло - и перенести набольшее число слагаемых. То есть, сначала брал все возможные комбинации знакочередования углов (3х,4ч - в зависимости от число сомножителей выражаемых через сумму), потом "брал на заметку" отдельные слагаемые в виде произведений соотв. ф-ций в общей череде слагаемых, получающихся после раскладывания тождеств для суммы/разности косинусов и синусов 3х и 4х углов и выражал их путем складывания этих тождеств так, чтобы "ненужные слагаемые" обратились в нуль, а "нужное" - осталось в кратном виде. Надеюсь, мое объяснение понятно, хотя допускаю, что этот метод довольно сложен и топорен, но... изучу и Ваш - спасибо, что поделились. 81.7.104.121 17:01, 16 октября 2012 (UTC)81.7.104.121 17:02, 16 октября 2012 (UTC)[ответить]

"Я, помниться, делал так: ${\displaystyle (\sin \alpha \sin \beta )\sin \gamma ={\frac {\cos(\alpha -\beta )\sin \gamma -\cos(\alpha +\beta )\sin \gamma }{2}}=\dots }$, ну а дальше применял формулу произведения синуса на косинус." - Сергей, Вы точно имели в виду не формулу произведения КОСИНУСА НА СИНУС, а не СИНУСА НА КОСИНУС,y меня вышло так: ${\displaystyle (\sin \alpha \sin \beta )\sin \gamma ={\frac {\sin(\alpha -\beta +\gamma )-\sin(\alpha -\beta -\gamma )-\sin(\alpha +\beta +\gamma )+\sin(\alpha +\beta -\gamma )}{4}}}$

${\displaystyle \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma ={\frac {\cos(\alpha +\beta +\gamma )+\cos(\alpha +\beta -\gamma )+\cos(\alpha -\beta +\gamma )+\cos(\alpha -\beta -\gamma )}{4}}}$ - для трех множителей косинусов

${\displaystyle \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma \sin \delta ={\frac {\cos(\alpha -\beta +\gamma -\delta )+\cos(\alpha -\beta +\gamma +\delta )-\cos(\alpha -\beta -\gamma -\delta )-\cos(\alpha -\beta -\gamma +\delta )+\cos(\alpha +\beta +\gamma -\delta )+\cos(\alpha +\beta +\gamma +\delta )-\cos(\alpha +\beta -\gamma +\delta )-\cos(\alpha +\beta -\gamma -\delta )}{8}}}$ - для четырех множителей синусов.

Все это правильно?81.7.104.121 15:41, 18 октября 2012 (UTC)[ответить]

"Сергей, Вы точно имели в виду не формулу произведения КОСИНУСА НА СИНУС, а не СИНУСА НА КОСИНУС" - произведение не зависит от порядка слагаемых, я имел ввиду формулу ${\displaystyle \sin \alpha \cos \beta ={\frac {\sin(\alpha -\beta )+\sin(\alpha +\beta )}{2}}.}$ Проверять ваш результат не хочу, это мне не интересно и занимёт много времени, которого всегда мало. Если вы подставили и сделали преобразования аккуратно, то формулы должны быть верными. Я же привёл вам способ для того, чтобы показать, что думающий человек формулы эти может легко вывести из формул для произведений двух тригонометрических функций. Поэтому не стоит ломать копья в том, какая запись результата лучше. Pintg как раз и отмечал, что лучше брать формулы из справочников, чтобы обеспечить более лёгкую проверяемость формул. -- Sergey kudryavtsev 09:22, 19 октября 2012 (UTC)[ответить]

Зря Вы не хотитие проверять - дьявол в мелочах: при выведении формулы произведения 3 синусов используется не формула произведения синуса на косинус, которую привели Вы - это неправильно -, а именно формула произведения косинуса на синус ${\displaystyle \cos \alpha \sin \beta ={\frac {\sin(\alpha +\beta )-\sin(\alpha -\beta )}{2}}}$ Далее, я уже отмечал, что сильнь сомневаюсь, что очень уж многие наши граждане держали в руках справочник Двайта - например, я никогда в жизни не слышал о таком и вряд ли когда-нибудь буду иметь возможность держать его в руках. Поэтому не думаю, что статья может быть основана на таком источнике. Лучше привести отечественный источник, а если их там нет, то не обязательно опираться на источник можно просто написать, что для большего числа сомножителей тригонометрических функций алгоритм выведения формуд такой же,как в показанных примерах для двух.81.7.104.121 15:05, 22 октября 2012 (UTC)[ответить]