Обсуждение:Уравнение Пуассона

Проект «Физика» (важность для проекта средняя) Эта статья тематически связана с вики-проектом «Физика», цель которого — создание и улучшение статей по темам, связанным с физикой. Вы можете её отредактировать, а также присоединиться к проекту, принять участие в его обсуждении и поработать над требуемыми статьями. ??? Статью ещё никто не оценил по шкале оценок проекта «Физика» Средняя Важность статьи для проекта «Физика»: средняя

Когда в качестве многообразия выступает Евклидово пространство, оператор Лапласа часто обозначается как ${\displaystyle \nabla ^{2}}$

Эту фразу не понимаю. Объясните пожалуйста, кто понял! Rivercarry 08:08, 11 февраля 2010 (UTC)[ответить]

Ну, оператор Лапласа от скаляра ${\displaystyle \triangle =\nabla \cdot \nabla =\nabla ^{2}}$, правда не знаю, в чём отличие в неевклидовой геометрии. infovarius 20:29, 11 февраля 2010 (UTC)[ответить]

Я просто всегда думал, что ${\displaystyle \triangle =\nabla ^{2}}$ абсолютно одинаковые обозначения, и их можно спокойно менять друг на друга. А вот тут оказывается, что есть какая-то тонкость. Только вот какая? Rivercarry 20:39, 11 февраля 2010 (UTC)[ответить]

В статье с самого начала - только евклидовы пространства, поэтому обсуждаемое замечание в данном контексте не имеет смысла. Вообще же говоря, в римановых пространствах оператор Лапласа-Бельтрами также имеет вид div grad, однако это несколько отличается от ${\displaystyle \nabla ^{2}}$. Подробнее, пусть на X задана локальная система координат и ${\displaystyle g_{ij}}$ - риманов метрический тензор на X, т. е. метрика имеет вид

${\displaystyle ds^{2}=\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}dx^{i}dx^{j}}$ .

Обозначим через ${\displaystyle g^{ij}}$ элементы матрицы ${\displaystyle (g_{ij})^{-1}}$ и

${\displaystyle g=detg_{ij}=(detg^{ij})^{-1}}$.

Дивергенция векторного поля ${\displaystyle F^{i}(=F^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}})}$ на многообразии X вычисляется по формуле

${\displaystyle divF={\frac {1}{\sqrt {g}}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}({\sqrt {g}}F^{i})}$,

а компоненты градиента функции f - по формуле

${\displaystyle (\nabla f)^{j}=\sum _{i=1}^{n}g^{ij}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}}$

Оператор Лапласа-Бельтрами

${\displaystyle \triangle f=div(\nabla f)={\frac {1}{\sqrt {g}}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}({\sqrt {g}}\sum _{k=1}^{n}g^{ik}{\frac {\partial f}{\partial x^{k}}})}$

А в статье надо убрать про неевклидовость. Убираю. Agor153 23:44, 12 февраля 2010 (UTC)[ответить]

PS. Данное уточнение относится и к криволинейным координатам в плоском пространстве. Agor153 00:13, 13 февраля 2010 (UTC)[ответить]

Спасибо большое! Rivercarry 08:31, 13 февраля 2010 (UTC)[ответить]

Теперь я не понял. Пока я не вижу отличий в указанных выражениях от ${\displaystyle \nabla \cdot \nabla }$. infovarius 21:09, 13 февраля 2010 (UTC)[ответить]

Могу лишь попросить сравнить выражения для div F и для градиента функции f. Если они оба - один и тот же ${\displaystyle \nabla }$ (${\displaystyle \nabla \cdot F}$ и ${\displaystyle \nabla f}$), то объясните, как Вы это видите (в определенном смысле Вы правы, но что такое тогда ${\displaystyle \cdot }$ и почему, и откуда берется множитель ${\displaystyle {\sqrt {g}}}$, например).Agor153 22:07, 17 февраля 2010 (UTC)[ответить]