Однозначно раскрашиваемый граф

Однозначно раскрашиваемый граф — это k-цветный граф, допускающий только одну (правильную) k-раскраску (с точностью до перестановки цветов).

Полный граф является однозначно раскрашиваемым, поскольку существует только одна допустимая раскраска — каждой вершине назначается свой цвет.

Любое k-дерево однозначно раскрашиваемо в (k + 1) цветов. Однозначно раскрашиваемы в 4 цвета планарные графы — это в точности графы Аполлония, то есть планарные 3-деревья^[1].

Некоторые свойства однозначно k-раскрашиваемого графа G с n вершинами и m рёбрами:

1. m ≥ (k - 1) n - k(k-1)/2 ^[2][3]

Минимально несовершенный граф — это граф, в котором любой подграф является совершенным. Удаление любой вершины из минимально несовершенного графа оставляет однозначно раскрашиваемый подграф.

Однозначно рёберно-раскрашиваемый граф — это рёберно k-цветный граф, допускающий только одну (правильную) рёберную k-раскраску с точностью до перестановки цветов. Только пути и циклы допускают однозначную рёберную 2-раскраску. Для любого значения k звёзды K_1,k являются однозначно рёберно k-раскрашиваемыми графами. Однако Вильсон ^[4] выдвинул гипотезу, а Томасон^[5] доказал, что при k ≥ 4 это единственные члены этого семейства. Существуют, однако, однозначно рёберно 3-раскрашиваемые графы, не попадающий в эту классификацию, как, например, граф треугольной пирамиды.

Если кубический граф однозначно рёберно 3-раскрашиваем, он должен иметь в точности три гамильтонова цикла, образованного рёбрами двух (из трёх) цветов, однако некоторые кубические графы только с тремя гамильтоновыми циклами однозначной рёберной 3-раскраски не имеют^[6]. Любой простой планарный кубический граф, допускающий единственную рёберную 3-раскраску, содержит треугольник^[1], но Тат^[7] заметил, что обобщённый граф Петерсена G(9,2) является непланарным графом без треугольников, однако он однозначно рёберно 3-раскрашиваем. Много лет этот граф был единственным примером таких графов (см.статьи Болобаша^[8] и Швенка^[9]), но теперь известно бесконечно много непланарных кубических графов без треугольников, имеющих однозначную рёберную 3-раскраску^[6].

Однозначно тотально раскрашиваемый граф — это тотально k-цветный граф, допускающий только одну (правильную) тотальную k-раскраску (с точностью до перестановки цветов).

Пустые графы^[англ.]*, пути и циклы с длиной, делящейся на 3, являются однозначно тотально раскрашиваемыми графами. Махмудиан и Шокроллахи^[10] высказали гипотезу, что только эти графы и составляют семейство.

Некоторые свойства однозначно тотально k-раскрашиваемого графа G с n вершинами:

1. χ″(G) = Δ(G) + 1 unless G = K₂^[11]
2. Δ(G) ≤ 2 δ(G).^[11]
3. Δ(G) ≤ n/2 + 1.^[12]

Здесь χ″(G) — тотальное хроматическое число; Δ(G) — максимальная степень, а δ(G) — минимальная степень.

• Weisstein, Eric W. Uniquely k-Colorable Graph (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

У этой статьи есть несколько проблем, помогите их исправить: Необходимо проверить качество перевода c неуказанного языка, исправить содержательные и стилистические ошибки. Вы можете помочь улучшить эту статью (см. также рекомендации по переводу). Оригинал не указан. Пожалуйста, укажите его. (10 марта 2017) Стиль этой статьи неэнциклопедичен или нарушает нормы литературного русского языка. Статью следует исправить согласно стилистическим правилам Википедии. (10 марта 2017) Пожалуйста, после исправления проблемы исключите её из списка параметров. После устранения всех недостатков этот шаблон может быть удалён любым участником.