Определители Гурвица

Определители Гурвица — определители, являющиеся минорами матрицы Гурвица, которые были введены Адольфом Гурвицем (1895) в качестве критерия, что все корни некоторого многочлена имеет отрицательную вещественную часть.

Рассмотрим характеристический многочлен P от переменной λ вида:

${\displaystyle P(\lambda )=a_{0}\lambda ^{n}+a_{1}\lambda ^{n-1}+\cdots +a_{n-1}\lambda +a_{n}}$

где коэффициенты ${\displaystyle a_{i}}$, ${\displaystyle i=0,1,\ldots ,n}$ действительные.

Квадратная матрица Гурвица, связанная с P, приведена ниже:

${\displaystyle H={\begin{pmatrix}a_{1}&a_{3}&a_{5}&\dots &\dots &\dots &0&0&0\\a_{0}&a_{2}&a_{4}&&&&\vdots &\vdots &\vdots \\0&a_{1}&a_{3}&&&&\vdots &\vdots &\vdots \\\vdots &a_{0}&a_{2}&\ddots &&&0&\vdots &\vdots \\\vdots &0&a_{1}&&\ddots &&a_{n}&\vdots &\vdots \\\vdots &\vdots &a_{0}&&&\ddots &a_{n-1}&0&\vdots \\\vdots &\vdots &0&&&&a_{n-2}&a_{n}&\vdots \\\vdots &\vdots &\vdots &&&&a_{n-3}&a_{n-1}&0\\0&0&0&\dots &\dots &\dots &a_{n-4}&a_{n-2}&a_{n}\end{pmatrix}}.}$

i-й определитель Гурвица является определителем i-го ведущего главного минора вышеуказанной матрицы Гурвица H. Существует n определителей Гурвица для характеристического полинома степени п .

• Матрица передачи^[англ.]

• Hurwitz, A. (1895), Ueber die Bedingungen, unter welchen eine Gleichung nur Wurzeln mit negativen reellen Theilen besitzt, Mathematische Annalen, 46 (2), doi:10.1007/BF01446812
• Wall, H. S. (1945), Polynomials whose zeros have negative real parts, The American Mathematical Monthly, 52