Ортополюс

Ортополюс системы, состоящей из треугольника ABC и прямой линии ℓ (на рис. справа этой прямой ℓ соответствует прямая A ′ C ′) в данной плоскости, является точкой, определяемой следующим образом.^[1]. Пусть A ′, B ′, C ′ — основания перпендикуляров, проведенных к прямой ℓ из вершин треугольника соответственно A, B, C. Пусть A ′′, B ′′, C ′′ — основания перпендикуляров, проведенных к соответствующим противоположным сторонам A, B, C указанного треугольника или к продолжениям этих сторон. Тогда три прямые линии A ′ A ′′, B ′ B ′′, C ′ C ′′, пересекутся в одной точке — в ортополюсе H.^[2] Благодаря своим многочисленным свойствам^[3] ортополюсы стали предметом серьезного изучения ^[4]. Изучались некоторые ключевые понятия — определение линий, имеющих данный ортополюс ^[5] и ортополюсные окружности.^[6]

Везде ниже в тексте ортополюсу P соответствует ортополюс H на рис. справа, а прямой ℓ ортополюса P на том же рис. соответствует прямая A ′ C ′.

• Если проходит через ортоцентр Q треугольника, то точка, расположенная на продолжении отрезка PQ, соединяющего ортополюс с ортоцентром, по другую сторону на расстоянии, равном PQ, лежит на окружности Эйлера этого треугольника.^[7]
• Ортоцентр Q треугольника является ортополюсом его сторон относительно самого треугольника.^[8]

• Ортополюс P прямой линии ℓ треугольника является радикальным центром трех окружностей, которые касаются прямой линии ℓ и имеют центры в вершинах антидополнительного треугольника по отношению к данному треугольнику.^[9]

• Если прямая ℓ ортополюса проходит через центр описанной окружности треугольника, то сам ортополюс лежит на окружности Эйлера этого треугольника.^{[3] [10]}
• Из последнего свойства следует, что для данного треугольника геометрическим местом точек - всех ортополюсов P всех прямых ℓ, проходящих через центр описанной окружности треугольника, является окружность Эйлера этого треугольника.
• Если прямая ℓ ортополюса пересекает описанную окружность треугольника в двух точках P и Q, то сам ортополюс лежит на пересечении двух прямых Симсона двух последних точек P и Q.^[11]
• Для данного треугольника геометрическим местом точек - всех ортополюсов P всех прямых ℓ, проходящих через фиксированную точку, лежащую на описанной окружности треугольника, является прямая (отрезок).

• Если ортополюс лежит на прямой Симсона, то его линия ℓ перпендикулярна ей.^[3]
• Если прямая ℓ ортополюса является прямой Симсона точки P, то точка P называется полюсом прямой Симсона ℓ^[3]

• Если прямая ℓ ортополюса перемещается параллельно самой себе, то ее ортополюс смещается вдоль линии, перпендикулярной ℓ, на расстояние, равное перемещению.^[3]
• Ортополюсы двух параллельных прямых лежат на общем для них перпендикуляре к двум прямым на расстоянии, равном расстоянию между прямыми.^[12]

Если задана фиксированная прямая линия ℓ, и выбрана любая из трех вершин четырехугольника, то все ортополюсы данной прямой линии ℓ относительно всех таких треугольников лежат на одной прямой. Эта линия называется ортополярной линией данной линии ℓ относительно четырехугольника.^[13]

• Известно (см. ^[14][15]), что нахождение для данного фиксированного треугольника всех ортополюсов ${\displaystyle O_{PQ}}$ для всех прямых ${\displaystyle PQ}$, проходящих через неподвижную точку ${\displaystyle P}$, порождает конику, которая всегда является эллипсом, касательным в 3 точках к дельтоиде Штейнера данного треугольника. Коника вырождается в прямую (отрезок), когда точка ${\displaystyle P}$ находится на описанной окружности треугольника ${\displaystyle ABC}$. Эта коника обобщает свойство, обсуждаемое в статье ^[16], согласно которому для точки ${\displaystyle P}$, совпадающей с центром описанной окружности ${\displaystyle O}$ треугольника, коника становится окружностью Эйлера ^[17]
• Замечание. В данной статье в параграфе "Ортополюс и описанная окружность" упомянутое выше свойство звучит так:

Если прямая ℓ ортополюса проходит через центр описанной окружности треугольника, то сам ортополюс лежит на окружности Эйлера этого треугольника.^[3][18]

В англоязычной литературе 4 центра 4 окружностей: 1 вписанной и 3 вневписанных окружностей с центрами соответственно ${\displaystyle I,J_{A},J_{B},J_{C}}$, касающиеся соответственно 3 разных сторон ${\displaystyle a,b,c}$ треугольника или их продолжений, - называют 4 трехкасательными центрами треугольника (the tritangent centers) ^[19]. Это замечание важно для следующего утверждения.

Точки Фейербаха треугольника являются ортополюсами данного треугольника, если в качестве прямых ℓ для этих ортополюсов взяты диаметры описанной окружности, проходящие через соответствующие трехкасательные центры ^[20]. Последнее утверждение есть следствие утверждения, указанного ниже.

Точка Фейербаха для данной вписанной или вневписанной окружности (трехкасательная окружность - по-английски "a tritangent circle ") является точкой пересечения 2 прямых Симсона, построенных для концов диаметра описанной окружности, проходящего через соответствующий центр вписанной или вневписанной окружности. Таким образом, точка Фейербаха может быть построена без использования соответствующей вписанной или вневписанной окружности и касающейся ее окружности Эйлера^[21].

Существование ортополюса вытекает из более общей теоремы, так называемой теоремы Штейнера об ортологических треугольниках ^[22].

Теорема Штейнера об ортологичных треугольниках утверждает (см. Теорема Штейнера об ортологических треугольниках), что, если Δ ABC ортологичен Δ A'B'C' , то это эквивалентно тому, что Δ A'B'C' ортологичен Δ ABC. В случае ортополюса проекции вершин треугольника ABC на прямую линию ℓ — точки A' , B' , C' — можно считать вершинами вырожденного треугольника, а параллельные перпендикуляры — пересекающимися в бесконечно удаленной точке.

• Треугольники ортологические — треугольники ABC и A₁B₁C₁, для которых перпендикуляры, опущенные из точек A, B и C на прямые B₁C₁, C₁A₁ и A₁B₁ пересекаются в одной точке. В этом случае и перпендикуляры, опущенные из точек A₁, B₁ и C₁ на прямые BC, CA и AB также пересекаются в одной точке.

Ортополюс был открыт математиком М. Сунсом (M. Soons) в 1886-м году в статье на с. 57 в бельгийском научном журнале по элементарной математике Mathesis (journal)^[англ.], основанным в 1881 году Полем Мансионом (Paul Mansion) и Жозефом Жаном Батистом Нойбергом (Joseph Jean Baptiste Neuberg), а сам термин ортополюс (orthopole) предложен упомянутым Нойбергом в журнале "Mathesis" за 1911-й год на с. 244 согласно источникам^[23],^[24]

Данное в самом начале определение ортополюса в книге Ефремова называется теоремой Сунса ^[25].

Полюс и поляра

• Atul Dixit, Darij Grinberg. Orthopoles and the Pappus Theorem// http://forumgeom.fau.edu/FG2004volume4/FG200406.pdf
• College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle. Nathan Altshiller-Court. Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. - §G. The Orthopole. P.287-291.// https://books.google.ru/books?id=VXDWIOvqeaoC&pg=PA291&lpg=PA291&dq=In+geometry,+the+orthopole&source=bl&ots=doCvrYOPtl&sig=ACfU3U1vm-WH5Tr4sGC9cE52DCRf9qBjcA&hl=ru&sa=X&ved=2ahUKEwjq1ZWdiJDqAhWRrIsKHZF7BsYQ6AEwBnoECAoQAQ#v=onepage&q=In%20geometry%2C%20the%20orthopole&f=false
• Bogomolny, A. "Orthopole." https://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Orthopole.shtml.
• Goormaghtigh R. Analytic Treatment of Some Orthopole Theorems// Amer. Math. Monthly 46. 1939. P. 265-269,
• Gallatly W. The Modern Geometry of the Triangle, 2nd ed. London: Hodgson, 1913. - Chapter 6. The Orthopole. P. 46-54.
• Honsberger, R.. Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., 1995. - Chapter 11. The Orthopole. P. 125-136. // https://b-ok.cc/book/447019/c8c303
• Johnson R. A. Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle. Boston, MA: Houghton Mifflin, p. 247, 1929.
• Ramler O. J. The Orthopole Loci of Some One-Parameter Systems of Lines Referred to a Fixed Triangle// Amer. Math. Monthly 37, 1930. P. 130-136.
• Lalesco T. La Geometrie du Triangle. Paris: Jacques Gabay, 1987, p. 17.
• Orthopole// http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/eGallery/problems/Orthopole.html
• Orthopole of a chord// http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/eGallery/problems/Orthopole2.html
• Junko HIRAKAWA. Some Theorems on the Orthopole. Tohoku Mathematical Journal, First Series. 1933. Vol. 36. P. 253-256 // https://www.jstage.jst.go.jp/article/tmj1911/36/0/36_0_253/_pdf/-char/en
• Мякишев А. Прогулки по окружностям: от Эйлера до Тейлора// Математика. Все для учителя! № 6 (6). июнь. 2011. с. 6, Определение ортопола, рис. 5// https://www.geometry.ru/persons/myakishev/papers/circles.pdf