Ортотреугольник

Ортотреуго́льник (или ортоцентрический треугольник) — треугольник ${\displaystyle \triangle abc}$, вершины которого являются основаниями высот исходного треугольника ${\displaystyle \triangle ABC}$. Для ортотреуго́льника ${\displaystyle \triangle abc}$ исходный треугольник ${\displaystyle \triangle ABC}$ является треугольником трёх внешних биссектрис. Точка пересечения высот исходного треугольника ${\displaystyle \triangle ABC}$ называется ортоцентром и является центром вписанной окружности ортотреуго́льника ${\displaystyle \triangle abc}$.

• Задача Фаньяно: ортотреугольник остроугольного треугольника ${\displaystyle \triangle ABC}$ обладает наименьшим периметром из всех вписанных треугольников.
• Окружность девяти точек: окружность, описанная вокруг ортотреугольника остроугольного треугольника ${\displaystyle \triangle ABC}$, проходит через середины сторон треугольника Δ${\displaystyle ABC}$ и через середины отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами треугольника ${\displaystyle \triangle ABC}$. Радиус этой окружности равен половине радиуса окружности, описанной вокруг треугольника Δ${\displaystyle ABC}$.
• Высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами углов его ортотреугольника.
• Стороны треугольника являются тремя внешними биссектрисами его ортотреугольника, таким образом треугольник является треугольником трёх внешних биссектрис своего ортотреугольника.
• Ортоцентр остроугольного треугольника является центром окружности, вписанной в его ортотреугольник.
• Если точки ${\displaystyle A_{1}}$, ${\displaystyle B_{1}}$ и ${\displaystyle C_{1}}$ на сторонах соответственно ${\displaystyle BC}$, ${\displaystyle AC}$ и ${\displaystyle AB}$ остроугольного треугольника Δ${\displaystyle ABC}$ таковы, что ${\displaystyle \angle BA_{1}C_{1}=\angle CA_{1}B_{1}}$, ${\displaystyle \angle CB_{1}A_{1}=\angle AB_{1}C_{1}}$ и ${\displaystyle \angle AC_{1}B_{1}=\angle BC_{1}A_{1}}$, то ${\displaystyle A_{1}B_{1}C_{1}}$ — ортотреугольник треугольника ${\displaystyle \triangle ABC}$.
• Ортотреугольник треугольника Δ${\displaystyle ABC}$ отсекает при вершинах ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$ треугольники, подобные треугольнику Δ${\displaystyle ABC}$ с коэффициентами подобия соответственно ${\displaystyle |cos(\angle A)|}$, ${\displaystyle |cos(\angle B)|}$, ${\displaystyle |cos(\angle C)|}$.
• Окружности, описанные вокруг отсекаемых ортотреугольником треугольников, проходят через ортоцентр, и их центры лежат на серединах отрезков, соединяющих ортоцентр исходного треугольника с вершинами исходного треугольника.
• Если вокруг остроугольного треугольника описать окружность и в трех вершинах треугольника провести прямые, касательные к окружности, то пересечение этих прямых образует треугольник, который называют тангенциальным треугольником по отношению к исходному треугольнику, и стороны которого параллельны сторонам ортотреугольника исходного треугольника.

• Ортотреугольник и тангенциальный треугольник подобны (Зетель, следствие 1, § 66, с. 81).
• Треугольник Жергонна ортотреугольника и исходный треугольник подобны (см. рисунок).
• Треугольник трёх внешних биссектрис треугольника трех внешних биссектрис и исходный треугольник подобны.
• Ортотреугольник треугольника Жергонна и исходный треугольник подобны.
• Выше указанные свойства подобия родственных треугольников являются следствием ниже перечисленных свойств параллельности (антипараллельности) сторон родственных треугольников.

• Стороны данного остроугольного треугольника антипараллельны соответствующим сторонам ортотреугольника, против которых они лежат.
• Стороны тангенциального треугольника антипараллельны соответствующим противоположным сторонам данного треугольника (по свойству антипараллельности касательных к окружности).
• Стороны тангенциального треугольника параллельны соответствующим сторонам ортотреугольника.
• Если точки касания вписанной в данный треугольник окружности соединены отрезками, то получится треугольник Жергонна. Пусть в полученном треугольнике проведены высоты. Тогда прямые, соединяющие основания этих высот, параллельны сторонам исходного треугольника. Следовательно, ортотреугольник треугольника Жергонна и исходный треугольник подобны.

• Площадь ортотреугольника равна:

${\displaystyle S_{ort}={\frac {S}{(2abc)^{2}}}(a^{2}+b^{2}-c^{2})(a^{2}+c^{2}-b^{2})(b^{2}+c^{2}-a^{2})}$

где ${\displaystyle S}$ — площадь треугольника ΔABC; ${\displaystyle a,b,c}$ — его соответствующие стороны.

• Окружность, описанная около ортотреугольника Δabc, для самого треугольника ΔABC является окружностью Эйлера (окружностью 9 точек), то есть одновременно проходит, через 3 основания медиан последнего. Заметим, что эти 3 основания медиан являются вершинами дополнительного треугольника для треугольника ΔABC.
• Радиусы окружности, описанной около данного треугольника ΔABC, проведенные через его вершины, перпендикулярны соответственным сторонам ортотреугольника Δabc (Зетель, следствие 2, § 66, с. 81).

• Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 38-39. — ISBN 5-94057-170-0.
• Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание. М.:Учпедгиз, 1962. 153 с.