Отображение Веронезе

Отображение Веронезе — отображение из ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ в пространство симметричных матриц ${\displaystyle (n+1){\times }(n+1)}$ определённое формулой

${\displaystyle V\colon (x_{0},\dots ,x_{n})\to {\begin{pmatrix}x_{0}\cdot x_{0}&x_{0}\cdot x_{1}&\dots &x_{0}\cdot x_{n}\\x_{1}\cdot x_{0}&x_{1}\cdot x_{1}&\dots &x_{1}\cdot x_{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x_{n}\cdot x_{0}&x_{n}\cdot x_{1}&\dots &x_{n}\cdot x_{n}\end{pmatrix}}.}$

Заметим, что ${\displaystyle V(x)=V(-x)}$ для любого ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n+1}}$. В частности, сужение ${\displaystyle V}$ на единичную сферу ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$ факторизуется через проективное пространство ${\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{n}}$. Это так назывемое называется вложением Веронезе ${\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{n}}$. Образ вложения Веронезе называется подмногообразием Веронезе, а при ${\displaystyle n=2}$ — поверхностью Веронезе.

• Матрицы в образе вложении Веронезе задают проекции на одномерные подпространства в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$. Их можно описать уравнениями

  ${\displaystyle A^{T}=A,\quad \mathrm {tr} \,A=1,\quad A^{2}=A.}$

То есть матрицы в образе ${\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{n}}$ имеют единичный след и единичную норму. В частности верно следующее.

• Образ лежит в афинном пространстве размерности ${\displaystyle n+{\tfrac {n\cdot (n+1)}{2}}}$.
• Образ лежит в ${\displaystyle (n-1+{\tfrac {n\cdot (n+1)}{2}})}$-сфере радиуса ${\displaystyle r_{n}={\sqrt {1-{\tfrac {1}{n+1}}}}}$
  • Более того образ является минимальным подмногообразием в этой сфере.

• Вложение Веронезе индуцирует риманову метрику ${\displaystyle 2\cdot g}$, где ${\displaystyle g}$ обозначает каноническую метрику на ${\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{n-1}}$.

• Вложение Веронезе переводит каждую геодезическую ${\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{n-1}}$ в окружность радиуса ${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}}$.
  • В частности, все нормальные кривизны образа равны ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$.

• Многообразие Веронезе является внешне симметрическим, то есть отражение в любой его нормальном пространстве переводит многообразие в себя.

Ананлоги вложений Веронезе строятся для комплексных и кватернионных проективных пространстсв, а также для плоскости Кэли.

• Cecil, T. E.; Ryan, P. J. Tight and taut immersions of manifolds Res. Notes in Math., 107, 1985.
• K. Sakamoto, Planar geodesic immersions, Tohoku Math. J., 29 (1977), 25–56.