Парадокс туннельного эффекта

Парадокс туннельного эффекта — утверждение о том, что способность микрочастиц проходить через потенциальный барьер с высотой, большей их полной энергии, якобы противоречит закону сохранения энергии. Для выполнения закона сохранения энергии в этом случае, кинетическая энергия частиц якобы должна быть отрицательной.

Физический подход к объяснению парадокса базируется на том, что, вследствие неопределённости координаты частицы в процессе её прохождения через барьер, равной его ширине, как результат принципа неопределённости, возникает неопределённость в проекции импульса ${\displaystyle p}$ на направление туннелирования ${\displaystyle x}$ и её кинетической энергии ${\displaystyle [\Delta T]}$, так, что ${\displaystyle [\Delta T]>(U_{m}-E)}$, где ${\displaystyle U_{m}}$ — максимальная высота барьера, ${\displaystyle E}$ — полная энергия частицы. Поэтому нарушения закона сохранения энергии не происходит^[1][2]. Для простоты считаем, что частица движется только вдоль оси ${\displaystyle x}$ (то есть что ${\displaystyle y}$- и ${\displaystyle z}$- компонент нет).

Рассмотрим частицу массой ${\displaystyle m}$ с полной энергией ${\displaystyle E}$, проходящую через потенциальный барьер с высотой ${\displaystyle U_{m}}$. Пусть полная энергия частицы меньше высоты потенциального барьера ${\displaystyle E<U_{m}}$. Полная энергия частицы равна сумме кинетической и потенциальных энергий ${\displaystyle E={\frac {p^{2}}{2m}}+U(x)}$. Тогда в области, где высота потенциального барьера больше полной энергии частицы ${\displaystyle U(x)>E}$, кинетическая энергия должна быть отрицательной ${\displaystyle T={\frac {p^{2}}{2m}}<0}$.

Представление полной энергии частицы в виде суммы потенциальной и кинетической энергий имеет в квантовой механике иной смысл, чем для классической материальной точки. Использование формулы ${\displaystyle E={\frac {p^{2}}{2m}}+U(x)}$ означает, что мы одновременно знаем величину потенциальной ${\displaystyle U(x)}$ и кинетической ${\displaystyle T={\frac {p^{2}}{2m}}}$ энергии. Но для знания кинетической энергии необходимо точно знать импульс ${\displaystyle p}$, а для потенциальной энергии — координату ${\displaystyle x}$ частицы, что запрещено принципом неопределённости ${\displaystyle [\Delta x]\,[\Delta p]\geqslant {\frac {\hbar }{2}}}$ (где ${\displaystyle [\Delta x]}$ и ${\displaystyle [\Delta p]}$ — неопределённости измерения координаты и импульса^[3], ${\displaystyle \hbar }$ — редуцированная постоянная Планка). Следовательно, чёткое разделение полной энергии на две составляющие в квантовой механике невозможно — и утверждение о таком-то точном значении кинетической энергии становится неправомерным.

Теперь осталось лишь выяснить, можно ли в результате измерения координаты частицы обнаружить её внутри потенциального барьера и при этом установить, что её полная энергия меньше энергетической высоты барьера.

Из формулы для туннельного эффекта следует, что частицы проникают внутрь потенциального барьера главным образом лишь на расстояние ${\displaystyle l}$, определяемое из приближённого равенства ${\displaystyle {\frac {2}{\hbar }}{\sqrt {2m{\left(U_{m}-E\right)}}}l\approx 1}$. Чтобы обнаружить частицу внутри потенциального барьера, мы должны измерить её координату с точностью порядка глубины её проникновения ${\displaystyle [\Delta x]\sim l}$. Но тогда вследствие принципа неопределённости импульс частицы приобретает дисперсию ${\displaystyle [\Delta p]^{2}\geqslant {\frac {\hbar ^{2}}{4[\Delta x]^{2}}}={\frac {\hbar ^{2}}{4l^{2}}}}$. В результате получаем ${\displaystyle {\frac {[\Delta p]^{2}}{2m}}\geqslant U_{m}-E}$.

Итак, вследствие неопределённости координаты частицы в процессе её прохождения через барьер, как результат принципа неопределённости, возникает неопределённость проекции импульса на направление туннелирования, что увеличивает кинетическую энергию частицы на величину, требуемую для прохождения барьера ${\displaystyle U_{m}}$^[1][2].

• Туннельный эффект