Переменные Мандельштама

Для вывода используем два соотношения:

• Квадраты четырёхимпульсов равны квадратам масс:

${\displaystyle p_{i}^{2}=m_{i}^{2}}$

• Сохранение четырёхимпульса:

${\displaystyle p_{1}+p_{2}=p_{3}+p_{4}}$

${\displaystyle p_{1}=-p_{2}+p_{3}+p_{4}}$

Таким образом:

${\displaystyle s=(p_{1}+p_{2})^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+2p_{1}\cdot p_{2}}$

${\displaystyle t=(p_{1}-p_{3})^{2}=p_{1}^{2}+p_{3}^{2}-2p_{1}\cdot p_{3}}$

${\displaystyle u=(p_{1}-p_{4})^{2}=p_{1}^{2}+p_{4}^{2}-2p_{1}\cdot p_{4}}$

Суммируя и подставляя квадраты масс, получаем:

${\displaystyle s+t+u=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+m_{3}^{2}+m_{4}^{2}+2p_{1}^{2}+2p_{1}\cdot p_{2}-2p_{1}\cdot p_{3}-2p_{1}\cdot p_{4}}$

Замечаем, что последние четыре слагаемых обращаются в нуль в силу сохранения четырёхимпульса:

${\displaystyle 2p_{1}^{2}+2p_{1}\cdot p_{2}-2p_{1}\cdot p_{3}-2p_{1}\cdot p_{4}=2p_{1}\cdot (p_{1}+p_{2}-p_{3}-p_{4})=0}$

Таким образом:

${\displaystyle s+t+u=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+m_{3}^{2}+m_{4}^{2}}$