Периодическая функция

Периодическая фу́нкция ― функция, повторяющая свои значения через некоторый регулярный интервал аргумента, то есть не меняющая своего значения при добавлении к аргументу некоторого фиксированного ненулевого числа (пери́ода функции) на всей области определения.

Говоря более формально, функция называется периодической с периодом ${\displaystyle T\neq 0,}$ если для каждой точки ${\displaystyle x}$ из её области определения точки ${\displaystyle x+T}$ и ${\displaystyle x-T}$ также принадлежат её области определения, и для них выполняется равенство ${\displaystyle f(x)=f(x+T)=f(x-T).}$

Исходя из определения, для периодической функции справедливо также равенство ${\displaystyle f(x)=f(x+nT),}$ где ${\displaystyle n}$ — любое целое число.

Все тригонометрические функции являются периодическими.

Пусть ${\displaystyle M}$ есть абелева группа (обычно предполагается ${\displaystyle M=(\mathbb {R} ,+)}$ — вещественные числа с операцией сложения или ${\displaystyle (\mathbb {C} ,+)}$ — комплексные числа). Функция ${\displaystyle f:M\to N}$ (где ${\displaystyle N}$ — произвольное множество её значений) называется периодической с периодом ${\displaystyle T\not =0,}$ если справедливо:

${\displaystyle f(x+T)=f(x),\quad \forall x\in M.}$

Если это равенство не выполнено ни для какого ${\displaystyle T\in M,\,T\not =0,}$ то функция ${\displaystyle f}$ называется апериоди́ческой.

Если для функции ${\displaystyle f:\mathbb {C} \to N}$ существуют два периода ${\displaystyle T_{1},T_{2}\not =0,}$ отношение которых не равно вещественному числу, то есть ${\displaystyle {\frac {T_{1}}{T_{2}}}\not \in \mathbb {R} ,}$ то ${\displaystyle f}$ называется двоякопериоди́ческой фу́нкцией. В этом случае значения ${\displaystyle f}$ на всей плоскости определяются значениями в параллелограмме, натянутом на ${\displaystyle T_{1},T_{2}.}$

Период функции определён неоднозначно. В частности, если ${\displaystyle T}$ — период, то и любой элемент ${\displaystyle T'}$ вида ${\displaystyle T'=\underbrace {T+\cdots +T} _{n}}$ (или ${\displaystyle T'=nT,}$ если в области определения функции определена операция умножения), где ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ — произвольное натуральное число, также является периодом.

Множество всех периодов функции образует аддитивную группу.

Однако если у множества периодов ${\displaystyle \{T,T>0,T\in \mathbb {R} \}}$ имеется наименьшее значение, то оно называется основным (или главным) периодом функции.

• Вещественные функции синус и косинус являются периодическими с основным периодом ${\displaystyle 2\pi ,}$ так как:

${\displaystyle \sin(x+2\pi )=\sin x,\;\cos(x+2\pi )=\cos x,\quad \forall x\in \mathbb {R} .}$

• Функции тангенс и котангенс являются периодическими с основным периодом ${\displaystyle \pi }$.

• Функция ${\displaystyle f(x)=(-1)^{x},}$ определённая на целых числах, является периодической с основным периодом ${\displaystyle 2.}$

• Функция, равная константе ${\displaystyle f(x)=\mathrm {const} ,}$ является периодической, и любое ненулевое число является её периодом. Основного периода функция не имеет.
• Функция Дирихле является периодической, её периодом является любое ненулевое рациональное число. Основного периода она также не имеет.
• Функция ${\displaystyle f(x)=x^{2},\;x\in \mathbb {R} }$ является апериодической.

• Сумма двух функций с соизмеримыми периодами ${\displaystyle T_{1}}$ и ${\displaystyle T_{2}}$ не всегда является функцией с основным периодом, равным наименьшему общему кратному ${\displaystyle T_{1}}$ и ${\displaystyle T_{2}}$ (однако просто периодом это число будет являться). Например, у функции ${\displaystyle f(x)=\sin(2x)-\sin(3x)}$ основной период равен ${\displaystyle 2\pi ,}$ у функции ${\displaystyle g(x)=\sin(3x)}$ период равен ${\displaystyle 2\pi /3,}$ а у их суммы ${\displaystyle f(x)+g(x)=\sin(2x)}$ основной период, очевидно, равен ${\displaystyle \pi .}$

• Сумма двух функций с несоизмеримыми периодами не всегда является непериодической функцией.

• Существуют периодические функции, не равные константе, у которой периодами являются несоизмеримые числа. Например, у функции ${\displaystyle f(x),}$ принимающей значения 1 при алгебраическом ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle 0}$ в остальных случаях, любое алгебраическое число является периодом, а среди алгебраических чисел есть и несоизмеримые.

• Квазипериодическая функция

• Периодическая функция (Большая советская энциклопедия)