Полярное разложение

Полярное разложение — представление квадратной матрицы ${\displaystyle A}$ в виде произведения эрмитовой ${\displaystyle S}$ и унитарной ${\displaystyle U}$ матриц ${\displaystyle A=SU}$. Является аналогом разложения любого комплексного числа в виде ${\displaystyle z=|z|e^{i\varphi }}$.

• Любую квадратную матрицу ${\displaystyle A}$ над ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (над ${\displaystyle \mathbb {C} }$) можно представить в виде ${\displaystyle A=SU}$, где ${\displaystyle S}$ — симметрическая (эрмитова) неотрицательно определённая матрица, ${\displaystyle U}$ — ортогональная (унитарная) матрица. Если матрица ${\displaystyle A}$ невырождена, то такое представление единственно^[1].
• Любую матрицу ${\displaystyle A}$ можно представить в виде ${\displaystyle A=UDW}$, где ${\displaystyle U}$ и ${\displaystyle W}$ — унитарные матрицы, ${\displaystyle D}$ — диагональная матрица^[1].
• Если ${\displaystyle A=S_{1}U_{1}=U_{2}S_{2}}$ — полярные разложения невырожденной матрицы ${\displaystyle A}$, то ${\displaystyle U_{1}=U_{2}}$^[1].

Докажем, что любую квадратную матрицу ${\displaystyle A}$ над ${\displaystyle \mathbb {R} }$ можно представить в виде произведения симметрической неотрицательно определённой матрицы и ортогональной матрицы.

Так как ${\displaystyle {\left(A^{T}A\right)}^{T}=A^{T}A}$, то матрица ${\displaystyle A^{T}A}$ симметричная. Существует^[2] базис, который можно обозначить через ${\displaystyle {\vec {e}}}$, состоящий из ортонормированных собственных векторов матрицы ${\displaystyle A^{T}A}$, расположенных в порядке убывания собственных значений.

Так как ${\displaystyle (A^{T}(x),y)=(x,A(y))}$, то для любых векторов ${\displaystyle e_{i}}$ и ${\displaystyle e_{j}}$ базиса ${\displaystyle e}$ выполняется ${\displaystyle \lambda _{i}({\vec {e_{i}}},{\vec {e_{j}}})=(A^{T}A({\vec {e_{i}}}),{\vec {e_{j}}})=(A({\vec {e_{i}}}),A({\vec {e_{j}}}))}$. Значит, образ базиса ${\displaystyle e}$ относительно преобразования ${\displaystyle A}$ ортогональный (сохраняются углы между векторами базиса, но не их длины). При проведении преобразования ${\displaystyle A}$ векторы ${\displaystyle {\vec {e_{i}}}}$ базиса ${\displaystyle e}$ преобразуются в векторы ${\displaystyle {\sqrt {\lambda _{i}}}{\vec {e_{k}}}}$.

Сингулярные числа матрицы ${\displaystyle A}$ — квадратные корни ${\displaystyle {\sqrt {\lambda _{i}}}}$ из собственных значений матрицы ${\displaystyle A^{T}A}$.

Отсюда очевидно, что ${\displaystyle \lambda _{i}\geq 0}$. Так как в рассматриваемом базисе векторы расположены в порядке убывания собственных значений, то существует такое число ${\displaystyle r}$, что ${\displaystyle \forall i\leq r\rightarrow \lambda _{i}>0}$.

Пусть ${\displaystyle f}$ — система векторов ${\displaystyle {\vec {f_{i}}}={{\vec {A(e_{i})}} \over {\sqrt {\lambda _{i}}}}}$ при ${\displaystyle i<r}$, дополненная до ортонормированного базиса произвольным образом. Пусть ${\displaystyle Q}$ — матрица перехода из базиса ${\displaystyle e}$ в базис ${\displaystyle f}$. Так как оба базиса ортонормированные, то матрица ${\displaystyle Q}$ ортогональная. Так как ${\displaystyle Q^{-1}A(e_{i})=Q^{-1}\left({\sqrt {\lambda _{i}}}f_{i}\right)={\sqrt {\lambda _{i}}}e_{i}}$, то существует ортонормированный базис из собственных векторов матрицы ${\displaystyle Q^{-1}A}$. Это значит, что матрица ${\displaystyle Q^{-1}A}$ в базисе ${\displaystyle {\vec {e}}}$ имеет диагональный вид, а потому в произвольном ортонормированном базисе симметрична.

Итак, ${\displaystyle A=QQ^{-1}A=Q(Q^{-1}A)}$, где матрица ${\displaystyle Q}$ ортогональная, а матрица ${\displaystyle Q^{-1}A}$ симметричная.

• Прасолов В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры. — М.: Наука, 1996. — 304 с. — ISBN 5-02-014727-3.