Последовательность Морса — Туэ

Последовательность Морса — Туэ — бесконечная последовательность нулей и единиц (битов), впервые предложенная в 1906 году норвежским математиком Акселем Туэ в качестве примера апериодической рекурсивно вычислимой строки символов^{[уточнить]}. Существует два варианта последовательности, получающиеся друг из друга инверсией битов:

10010110011010010110100110010110… (последовательность A010059 в OEIS) — дополнительная

01101001100101101001011001101001… (последовательность A010060 в OEIS) — основная

Последовательность Морса — Туэ является простейшим примером фрактала и находит своё применение в алгоритмах фрактального сжатия изображений.

Последовательность можно определить многими разными эквивалентными способами:

• Выполняя преобразование ${\displaystyle 0\rightarrow 01}$ ; ${\displaystyle 1\rightarrow 10}$, взяв за первую итерацию ${\displaystyle 1}$:

        1
    1       0
  1   0   0   1
 1 0 0 1 0 1 1 0 

• Начинаем с 1. На каждом шаге дописываем к числу инверсию этого числа. Инверсия получается заменой всех нулей на единицы, а единиц на нули. К примеру, инверсией числа 1001 будет число 0110. (По-другому инверсию числа можно описать так: это число, дополняющее уже написанное до числа, состоящего только из единиц; например 1001+0110=1111 в двоичной системе счисления)

Шаг 1: 1
Шаг 2: 10
Шаг 3: 1001
Шаг 4: 10010110
Шаг 5: 1001011001101001
...

• Выпишем подряд числа 0,1,2,3... в двоичной системе, и посчитаем количество цифр 1 в каждом числе. (Получим последовательность A000120 в OEIS.) Затем возьмем остаток этого числа от деления на 2.

Последовательность была открыта в 1851 году Пруэ (фр. E. Prouhet), который нашёл ей применение в теории чисел, однако не описал исключительные свойства последовательности. И только в 1906 году Аксель Туэ при изучении комбинаторики открыл её заново.

Публикация работы Туэ в Германии прошла бесследно, и последовательность вновь открывает Марсон Морс в 1921, применив её в дифференциальной геометрии.

Последовательность открывалась независимо много раз: например гроссмейстер Макс Эйве открыл её применение в шахматах, показав, как играть бесконечно, не нарушая правил ничьей.

Как и любой фрактал, последовательность Морса — Туэ обладает рядом симметрий. Так, последовательность остаётся сама собой:

• При удалении всех элементов на чётных местах:

10 01  01 10  01 10  10 01  01 10  10 01  10 01  01 10...

1  0   0  1   0  1   1  0   0  1   1  0   1  0   0  1...

• При замене двух частей, из которых можно составить целое, другими двумя символами. Это означает, что последовательность нельзя заархивировать по алгоритму Хаффмана, так как последовательность, являющаяся «архивом» будет совпадать с самой последовательностью Морса — Туэ:

1001 0110 0110 1001  0110 1001  1001 0110...
1    0    0    1     0    1     1    0...

• В последовательности никогда не встречаются три одинаковых подряд идущих части (невозможно встретить «A-A-A», где «A» — последовательностей нулей и единиц);
• Дискретное преобразование Фурье последовательности имеет одинаковые максимумы на частотах ⅓ и ⅔;
• Число, двоичной записью которого является последовательность Морса — Туэ, называется числом Пруэ-Туэ-Морса:

${\displaystyle \tau =\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {t_{i}}{2^{i+1}}}=0.412454033640\ldots }$ (последовательность A014571 в OEIS),

где ${\displaystyle t_{i}}$ — элементы последовательности Морса-Туэ. Это число трансцендентно (доказано K. Mahler в 1929 году).

• Также известно значение следующего бесконечного произведения:^[1]

${\displaystyle \prod _{n=0}^{\infty }\left({\frac {2n+1}{2n+2}}\right)^{2t_{i}-1}={\frac {\sqrt {2}}{2}}}$

Имея произвольный алфавит из n символов, можно составить ровно n разных циклических перестановок этого алфавита. Затем, заменяя каждую «букву» алфавита на соответствующую перестановку, можно получить последовательность Морса — Туэ. Так например из трёх символов «1», «2», «3» можно составить три циклических перестановки: «123», «231», «312»:

${\displaystyle 1\rightarrow 123}$

${\displaystyle 2\rightarrow 231}$

${\displaystyle 3\rightarrow 312}$

                              1
         1                    2                    3
  1      2      3      2      3      1      3      1      2
1 2 3  2 3 1  3 1 2  2 3 1  3 1 2  1 2 3  3 1 2  1 2 3  2 3 1...

Многомерная последовательность Морса — Туэ определяется подобным образом. Так например двумерная последовательность (матрица) является пределом последовательности, каждый следующий член которой получается из предыдущего при помощи преобразования

${\displaystyle 1\rightarrow {\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}}}$ ; ${\displaystyle 0\rightarrow {\begin{matrix}0&1\\1&0\end{matrix}}}$

${\displaystyle 10010110\cdots }$

${\displaystyle 01101001\cdots }$

${\displaystyle 01101001\cdots }$

${\displaystyle 10010110\cdots }$

${\displaystyle \vdots \quad \vdots \quad \vdots \quad \ddots }$

Также двумерную последовательность Морса-Туэ можно представить как совокупность одномерных.

• Weisstein, Eric W. Последовательность Морса — Туэ (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.